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$(u_n)$ est une suite géométrique définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+2$ et $u_0=2$.
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- Calculer $u_1$ .
Pour $n=0$, on a $u_{0+1}=u_1=\dfrac{1}{2}u_0+2=\dfrac{1}{2}\times 2+2=3$
- On pose $w_n=u_n-4$.
Montrer que $(w_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$Il faut montrer qu'il existe $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, on a $w_{n+1}=qw_n$
$w_{n+1}=u_{n+1}-4 =\dfrac{1}{2}u_n2 -4$....Pour tout entier naturel $n$, on a:
$w_{n+1}=u_{n+1}-4 $
$\phantom{w_{n+1}}=\dfrac{1}{2}u_n+2-4 $ (on a $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+2$)
$\phantom{w_{n+1}}=\dfrac{1}{2}u_n- 2 $
$\phantom{w_{n+1}}=\dfrac{1}{2}(u_n- 4) $ (on factorise par le coefficient de $u_n$)
$\phantom{w_{n+1}}=\dfrac{1}{2}w_n$ (rappel: $w_n=u_n-4$)
donc $(w_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $w_0=u_0-4=2-4=-2$
- En déduire l'expression de $w_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$.
Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$On a $w_n=u_n-4$ donc $u_n=w_n+4$$(w_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$ et de premier terme $w_0=-2$
donc pour tout entier naturel $n$, on a:
$w_n=w_0q^{n}=-2\times \left(\dfrac{1}{2} \right)^{n}$
$\phantom{w_n}=-2\times \dfrac{1}{2^n} $
$\phantom{w_n}=\dfrac{-2}{2^n} $
$w_n=u_n-4$ donc $u_n=w_n+4=\dfrac{-2}{2^n}+4$
- Déterminer le sens de variation de la suite $(u_n)$.
On peut aussi étudier le signe de la différence $u_{n+1}-u_n$
u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{2}u_n+2-u_n$$u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+2$
$u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{2}u_n+2-u_n$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{-1}{2}u_n+2$ et on a $u_n=\dfrac{-2}{2^n}+4$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{-1}{2}(\dfrac{-2}{2^n}+4)+2$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{1}{2^n}-2+2$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=\dfrac{1}{2^n}$
donc $u_{n+1}-u_n>0$
- Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ quand $n \rightarrow +\infty$.
Limite de $q^n$ (suite géométrique)
Si $q > 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty$
Si $-1 < q < 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=0$Chercher la limite de la suite $(w_n)$ géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$
Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=w_n+4$$(w_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{2}$
On a donc $0< q<1$
donc $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} w_n=0$
Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=w_n+4$
donc par somme $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} u_n=4$
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