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Dans chacun des cas, déterminer si $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
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- $f(x)=2x-3$ si $x\leq 2$ et $f(x)=-3x+7$ si $x>2$
Limites et continuité
La fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ contenant $a$ est continue en $x=a$ si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^-}f(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^+}f(x)$.ne fonction affine est continue sur $\mathbb{R}$
Il faut donc chercher $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)$$f$ est continue sur $]-\infty;2[$ et continue sur $]2;+\infty[$ (fonctions affines)
Etude de la continuité en $x=2$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)=2\times 2-3=1$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)=-3\times 2+7=1$
donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)$
Représentation graphique de $f$
$f$ est une fonction affine par morceaux. - $f(x)=x^2$ si $x\leq 1$ et $f(x)=2x-3$ si $x>1$
Une fonction affine est continue sur $\mathbb{R}$
La fonction carré est continue sur $\mathbb{R}$
Il faut donc chercher $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)$$f$ est continue sur $]-\infty;1[$ (fonction carré) et continue sur $]1;+\infty[$ (fonction affine)
Etude de la continuité en $x=1$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)=1^2=1$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)=2\times 1-3=-1$
donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)\neq \displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)$
Représentation graphique de $f$
- $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-3}$ si $x< -1$ et $f(x)=x^2-1$ si $x\geq -1$
Une fonction affine est continue sur $\mathbb{R}$ et une fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition.
Il faut donc chercher $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^-}f(x)$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^+}f(x)$$f$ est continue sur $]-\infty;-1[$ (fonction rationnelle) et continue sur $]-1;+\infty[$ (fonction polynôme)
Etude de la continuité en $x=-1$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^-}x^2-1=(-1)^2-1=0$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^-}x-3=-1-3=-4$
donc par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^-}f(x)=0$
et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^+}f(x)=(-1)^2-1=0$
donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^-}f(x)= \displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^+}f(x)$
Représentation graphique de $f$
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