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La fonction $f$ est définie sur $[-3;3]$ par $f(x)=\dfrac{10x}{x^2+1}$ et on note $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
  1. Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$.

    Nombre dérivé


    Soit $f$ une fonction définie sur $D_f$ et $a$ appartenant à $D_f$.
    S'il existe un réel $k$ tel que le taux d'accroissement $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ de $f$ entre $a$ et $a+h$ se " rapproche" de $k$ lorsque $h$ se rapproche de 0 alors $f$ est dérivable en $x=a$.
    $k$ est le nombre dérivé de $f$ en $x=a$ et se note $f'(a)$}$=k$.
    On note alors $f'(a)=\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ (se lit limite de $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ quand $h$ tend vers 0.)
    Déterminer le coefficient directeur de la tangente
    On pose $u(x)=10x$ et $v(x)=x^2+1$
    et on a $u'(x)=10$ et $v'(x)=2x$
    $f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{10(x^2+1)-10x(2x)}{(x^2+2)^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{10x^2+20-20x^2}{(x^2+2)^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{-10x^2+10}{(x^2+2)^2}$

    Ne pas développer le dénominateur en vue de l'étude du signe de $f'(x)$.
    $(x^2+1)^2>0$ donc $f'(x)$ est du même signe que $-10x^2+10$.
    $-10x^2+10=0 \Longleftrightarrow 10(-x^2+1)=0$
    $\phantom{-10x^2+10=0 } \Longleftrightarrow -x^2+1=0$
    $\phantom{-10x^2+10=0 } \Longleftrightarrow x^2=1$
    $\phantom{-10x^2+10=0} \Longleftrightarrow x=-1$ ou $x=1$

    avec $f(-3)=\dfrac{10\times (-3)}{(-3)^2+1}=\dfrac{-30}{10}=-3$
    $f(-1)=\dfrac{10\times (-1)}{(-1)^2+1}=\dfrac{-10}{2}=-5$
    $f(1)=\dfrac{10\times 1}{1^2+1}=\dfrac{10}{2}=5$
    $f(3)=\dfrac{10\times 3}{3^2+1}=\dfrac{30}{10}=3$

    - Dans $-10x^2+10$ on a $a=-10$, $b=0$ et $c=10$
    donc on peut déterminer directement les racines sans calculer $\Delta$
    sinon on trouve $\Delta=0^2-4\times (-10)\times 10=400$
    - Avec la calculatrice CASIO graphique, penser à contrôler la dérivée obtenue (MENU TABLE puis Y1$=f(x)$ et Y2$=f'(x)$ et l'option DERIVATIVE sur ON voir vidéo contrôler une dérivée avec la calculatrice) et ensuite les racines obtenues avec le MENU EQUATION puis POLY et degré 2 en saisissant $a=-10$, $b=0$ et $c=10$
  2. Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=3$(on ne demande pas les valeurs de ces solutions)

    Théorème des valeurs intermédiaires


    $f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a Si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe au moins un réel $c\in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.

    Cas où la fonction est monotone
    Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
    $f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).
    On utilise le tableau de variation en décomposant en trois intervalles: $[-3;-1]$ et $[-1;1]$ et $[1;3]$
    - Sur $[-3;-1]$:
    Le maximum de $f$ est $f(-3)=-3$ donc $f(x)\leq f(-3)<3$
    et l'équation $f(x)=3$ n'admet donc aucune solution.

    - Sur $[-1;1]$
    $f$ est continue et strictement croissante et on a $0$ compris entre $f(-1)=-5$ et $f(1)=5$


    - Sur $[1;3]$, le minimum de $f$ est $f(3)=3$ atteint en $x=3$
    donc l'équation $f(x)=3$ admet une seule solution $x=3$.

  3. Déterminer les coordonnées des points d'intersection des la courbe $C_f$ et de la droite d'équation $y=3$.
    Il faut résoudre l'équation $f(x)=3$
    On veut donc $f(x)=3$.
    D'après la question précédente, on sait qu'il y a deux points d'intersection d'abscisses $\alpha$ (à calculer) et $3$.
    $f(x)=3 \Longleftrightarrow \dfrac{10x}{x^2+1}=3$
    $\phantom{f(x)=3} \Longleftrightarrow 10x=3(x^2+1)$
    $\phantom{f(x)=3} \Longleftrightarrow 10x=3(x^2+1)$
    $\phantom{f(x)=3} \Longleftrightarrow 10x=3x^2+3$
    $\phantom{f(x)=3} \Longleftrightarrow 0=3x^2-10x+3$
    $\Delta=b^2-4ac=(-10)^2-4\times 3\times 3=100-36=64$
    $\Delta>0$ donc il y a deux racines
    $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{10 + 8 }{6 }=3$
    et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{10 - 8 }{ 6 }=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
    La courbe $C_f$ coupe la droite d'équation $y=3$ aux points d'abscisses $x_1=3$ et $x_2=\dfrac{1}{3}$ et d'ordonnée 3


    Contrôle des calculs en calculant les ordonnées:
    $f(3)=3$(voir tableau)
    $f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{10\times \dfrac{1}{3}}{\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+1}$
    $\phantom{f\left(\dfrac{1}{3}\right)}=\dfrac{\dfrac{10}{3}}{\dfrac{1}{9}+1}$
    $\phantom{f\left(\dfrac{1}{3}\right)}=\dfrac{\dfrac{10}{3}}{\dfrac{10}{9}}$
    $\phantom{f\left(\dfrac{1}{3}\right)}=\dfrac{10}{3}\times \dfrac{9}{10}$
    $\phantom{f\left(\dfrac{1}{3}\right)}=\dfrac{9}{3}$
    $\phantom{f\left(\dfrac{1}{3}\right)}=3$
  4. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0.

    Équation de la tangente au point d'abscisse $a$


    $f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
    La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
    et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}
    Il faut calculer $f(0)$ et $f'(0)$
    $f(0)=\dfrac{10\times 0}{0^2+1}=0$
    et $f'(0)=\dfrac{-10\times 0^2+10}{(0^2+1)^2}=\dfrac{10}{1}=10$
    $y=f'(0)(x-0)+f(0)$
    $\phantom{y}=10(x-0)+0$
    $\phantom{y}=10x$
  5. On donne ci-dessous la courbe $C_f$, placer les points trouvés à la question et tracer $T$.
    Le coefficient directeur de $T$ est $f'(0)=10$ et les points $A$ et $B$ sont les points d'intersection de $C_f$ et de la droite d'équation $y=3$
  6. On donne $f''(x)=\dfrac{20x^3-60x}{\left(x^2+1\right)^3}$
    Etudier le signe de $f''(x)$ et en déduire la convexité de $f$ et les abscisses des points d'inflexion.

    Signe de la dérivée seconde


    Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
    si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
    si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concave
    On a $(x^2+1)^3>0$ donc $f''(x)$ est du signe de $20x^3-60x$
    On peut factoriser le numérateur
    $f''(x)=\dfrac{20x^3-60x}{\left(x^2+1\right)^3} =\dfrac{20x(x^2-3)}{\left(x^2+1\right)^3}$
    $(x^2+1)^3>0$ donc $f''(x)$ est du même signe que le numérateur.
    $x^2-3=0 \Longleftrightarrow x^2=3 \Longleftrightarrow x=-\sqrt{3}$ ou $x=\sqrt{3}$


    La courbe admet un point d'inflexion quand la dérivée seconde s'annule et change de signe

    Complément avec le graphique
    $f$ est convexe lorsque $C_f$ est au-dessus de ces tangentes et concave quand $C_f$ est en-dessous de ses tangentes.
    Sur le graphique, les tangentes aux points d'inflexion sont tracées

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