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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x^2+ln(x)$.
On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal.
  1. Déterminer les limites de de la fonction $f$ en $+\infty$ puis en $0^+$.

    Limites de ln


    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}ln(x)=-\infty$

    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x)=+\infty$
    On peut chercher la limite de $x^2$ et de $ln(x)$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x^2=+\infty$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x)=+\infty$

    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}x^2=0$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}ln(x)=-\infty$
  2. Calculer la dérivée de $f$ et dresser le tableau de variation de $f$.

    Dérivée de la fonction ln


    La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$
    On peut dériver "terme à terme" soit $x^2$ et $ln(x)$
    La fonction carré est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc sur $]0;+\infty[$
    et la fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$
    donc la somme $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
    $f'(x)=2x+\dfrac{1}{x}$

    $x>0$ donc $2x >0$ et $\dfrac{1}{x} >0$ donc $f'(x) >0$ et $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
  3. En déduire que l'équation $ln(x)=-x^2$ admet une unique solution sur $]0;+\infty[$ et en donner un encadrement d'amplitude 0,01.

    Théorème des valeurs intermédiaires


    $f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a Si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe au moins un réel $c\in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.

    Cas où la fonction est monotone
    Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
    $f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).
    $ln(x)=-x^2 \Longleftrightarrow x^2+ln(x)=0$
    Il faut utiliser les variations de $f$ et ses limites pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires
    $f$ est continue (somme de fonctions continues) sur $]0;+\infty[$
    avec $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}f(x)=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$
    donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires $f(x)$ prend au moins une fois la valeur $0$ sur $]0;+\infty[$
    De plus $f$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ donc cette solution est unique.
    Pour tout réel $x >0$ on a $ln(x)=-x^2 \Longleftrightarrow x^2+ln(x)=0 \Longleftrightarrow f(x)=0$

    Avec le MENU TABLE de la calculatrice, on obtient $f(0,65)\approx -0,008$ et $f(0,66)\approx 0,02$
    donc $0,65 < \alpha < 0,66$.
  4. Étudier la convexité de $f$.

    Dérivées usuelles


    Signe de la dérivée seconde


    Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
    si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
    si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concave
    $f'(x)=2x+\dfrac{1}{x}$
    $f''(x)=2-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{2x^2-1}{x^2}$
    $x^2 >0$ donc $f''(x)$ est du signe de $2-x^2$.
    $2-x^2=0\Longleftrightarrow x^2=2 \Longleftrightarrow x=\sqrt{2}$ ou $x=-\sqrt{2}$

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