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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=aln(x)+bx$ où $a$ et $b$ sont deux réels.
On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.
  1. Exprimer la dérivée $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.

    Dérivée de la fonction ln


    La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$
    $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ (somme de deux fonctions dérivables).
    $f'(x)=a\times \dfrac{1}{x}+b$
  2. $C_f$ admet une tangente d'équation $y=-x-2$ au point de la courbe d'abscisse 1.
    Déterminer $a$ et $b$.

    Équation de la tangente au point d'abscisse $a$


    $f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
    La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
    et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}
    Il faut écrire deux équations en utilisant le coefficient directeur de la tangente et les coordonnées du point de contact de la tangente et de $C_f$.
    Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 1 est $f'(1)$ et vaut $-1$.
    $f'(1)=\dfrac{a}{1}+b=-1 \Longleftrightarrow a+b=-1$
    Le point de contact de la tangente et de la courbe a pour ordonnée $y=-1-2=-3$ donc $f(1)=-3$.
    On a alors $f(1)=aln(1)+b\times 1=b=-3$ (rappel $ln(1)=0$)
    $b=-3$ et $a+b=-1$ soit $a-3=-1$ donc $a=2$.
  3. Déterminer les limites de $f$ en $0^+$ et en $+\infty$.

    Limites de ln


    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}ln(x)=-\infty$

    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x)=+\infty$

    Croissances comparées


    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{ln(x)}{x}=0$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}xln(x)=0$
    Pour déterminer la limite en 0, on cherche la limite de chacun des deux termes de $f(x)$
    en $+\infty$ la limite de la somme est indéterminée et il faut factoriser $x$ pour utiliser la limite de $\dfrac{ln(x)}{x}$ en $+\infty$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}2ln(x)=-\infty$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}-3x=0$

    Pour tout réel $x >0$ on a $f(x)=x\left(2\dfrac{ln(x)}{x}-3\right)$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}2\dfrac{ln(x)}{x}=0$ et donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}2\dfrac{ln(x)}{x}-3=-3$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x=+\infty$
    donc par produit on a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x\left(2\dfrac{ln(x)}{x}-3\right)=-\infty$


    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}2ln(x)=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}-3x=-\infty$
    donc la limite de la somme est bien indéterminée.
  4. Dresser le tableau de variation de $f$.
    Il faut étudier le signe de $f'(x)$
    $f'(x)=\dfrac{a}{x}+b$ avec $a=2$ et $b=-3$ donc $f'(x)=\dfrac{2}{x}-3=\dfrac{2-3x}{x}$
    $x > 0$ donc $f'(x)$ est du signe de $2-3x$.
    $2-3x >0 \Longleftrightarrow -3x >-2 \Longleftrightarrow x < \dfrac{2}{3}$
    donc $f'(x)>0$ pour $x \in \left]0;\dfrac{2}{3}\right[$.

    $f\left(\dfrac{2}{3}\right)=2ln\left(\dfrac{2}{3}\right)-3\times \dfrac{2}{3}=2ln\left(\dfrac{2}{3}\right)-2=2ln(2)-2ln(3)-2\approx -2,81$
  5. Étudier la convexité de $f$.

    Signe de la dérivée seconde


    Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
    si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
    si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concave

    Dérivées usuelles


    $f'(x)=\dfrac{2}{x}-3$
    $f''(x)=2\dfrac{-1}{x^2}=\dfrac{-2}{x^2}$
    donc $f''(x)<0$
  6. Compléter le tracé de $C_f$ dans le repère ci-dessous et tracer la tangente au point d'abscisse 1.
    Placer le maximum de $f$ et utiliser un tableau de valeurs (MENU TABLE de la cslculatrice.
    Tableau de valeurs avec la calculatrice:

    Il faut placer le point $S\left(\dfrac{2}{3};2ln(2)-2ln(3)-2\right)$ et la tangente en ce point est parallèle à l'axe des abscisses.

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