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Partie A : Étude préliminaire
On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $]- 3;+ \infty[$

On note $f$ la fonction définie par $f(x) = ln [g(x)]$.
  1. Justifier que l'ensemble de définition de $f$ est $]-2;+\infty[$
    La fonction $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $g(x)>0$.
    La fonction $ln$ est définie sur $]0;+\infty[$ donc il faut $g(x)>0$
    $g$ est continue et strictement croissante sur $]-3;+\infty[$ et $g(-2)=0$
    donc $g(x)>0$ sur $]-2;+\infty[$
  2. Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $]- 2;+ \infty[$.

    Dérivée de ln(u)


    $u$ est définie et dérivable sur $I$ avec $u(x) > 0$
    $ln(u)$ est dérivable sur $I$ et $(ln(u))'=(lnou)'=\dfrac{u'}{u}$
    On a $g(x)>0$ sur $]-2;+\infty[$ donc $f'(x)$ est du même signe que $g'(x)$.
    $g$ est dérivable sur $]-2;+\infty[$ donc $f$ est dérivable sur $]-2;+\infty[$.
    $f'(x)=\dfrac{g'(x)}{g(x)}$
    Sur $]-2;+\infty[$ on a $g(x)>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $g'(x)$
    or $g$ est strictement croissante sur $]-2;+\infty[$ donc $g'(x) >0$
  3. Déterminer la limite de $f$ en $(- 2)$ et la limite de $f$ en $+ \infty$ , puis donner le tableau de variations de $f$.

    Limites de ln


    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}ln(x)=-\infty$

    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}ln(x)=+\infty$
    $f$ est la composée de la fonction $g$ et de la fonction $ln$ donc on détermine d'abord la limite de $g$ par lecture du tableau de variation
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^+}g(x)=0^+$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}ln(x)=-\infty$

    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}g(x)=2$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2}ln(x)=ln(2)$

    On a alors:

Partie B
Dans cette partie, la fonction $g$ est la fonction définie sur l'intervalle $]- 3;+ \infty[$ par : $g(x) = 2 - \dfrac{2}{x + 3}$.
  1. En utilisant cette définition de la fonction $g$ retrouver tous les renseignements donnés dans le tableau de variation de la partie A.

    Formules de dérivation (produit, quotient...)


    Il faut chercher la limite de $x+3$ puis de $\dfrac{2}{x+3}$ en $-3^+$ et en $+\infty$.
    On pose $v(x)=x+3$ et on a $g(x)=2-\dfrac{2}{v(x)}$
    Limite en $+\infty$:
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x+3=+\infty$ donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}-\dfrac{2}{x+3}=0$

    Limite en $-3^+$:
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -3^+}x+3=0^+$ donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -3^+}-\dfrac{2}{x+3}=-\infty$

    Variations:
    On pose $v(x)=x+3$ dérivable sur $]-3;+\infty[$ donc $g$ est dérivable sur $]-3;+\infty[$
    $v'(x)=1$
    donc $g'(x)=0-2\times \dfrac{-v'(x)}{(v(x))^2}=\dfrac{2}{(x+3)^2}$
    $(x+3)^2>0$ donc $g'(x) >0$
  2. Comme dans la première question de la partie A, on définit la fonction $f$ par :
    pour tout $x$ élément de l'intervalle $ ]- 2;+ \infty[$, $f(x ) = ln \left(2 - \dfrac{2}{x + 3}\right)$.
    Soit $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ la courbe représentative de cette fonction $f$ relativement à un repère orthogonal.
    La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ est représentée sur la figure fournie en annexe.
    1. La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ admet-elle des asymptotes ? Justifier.
      Si oui, en donner des équations et les tracer sur la figure fournie en annexe.
      Il faut utiliser les limites de $f$ en $-2^+$ et $+\infty$.
      $f$ est la composée de la fonction $g$ et de la fonction $ln$
      et on a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=ln(2)$

      De même on a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -2^+}f(x)=-\infty$

    2. La courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ coupe l'axe des abscisses en un point A. En utilisant l'expression de $f(x)$, déterminer les coordonnées du point A et placer ce point sur la figure fournie en annexe.
      $ln(g(x))=0 \Longleftrightarrow g(x)=1$
      $f(x)=0 \Longleftrightarrow ln(g(x))=0$
      $\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow g(x)=1$
      $\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow 2-\dfrac{2}{x+3}=1$
      $\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow -\dfrac{2}{x+3}=-1$
      $\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow \dfrac{2}{x+3}=1$
      $\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow 2=x+3$
      $\phantom{f(x)=0}\Longleftrightarrow x=-1$

    3. Déterminer une équation de la droite (T) tangente à la courbe $\left(\mathcal{C}_{f}\right)$ en son point d'abscisse $(- 1)$. Tracer la droite (T) sur la figure fournie en annexe.

      Équation de la tangente au point d'abscisse $a$


      $f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
      La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
      et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}
      Il faut calculer $f'(x)$ puis $f'(-1)$.
      On a $f(x ) = ln \left(2 - \dfrac{2}{x + 3}\right)$
      et $f'(x)=\dfrac{g'(x)}{g(x)}$
      $\phantom{f'(x)}=\dfrac{\dfrac{2}{(x+3)^2}}{2 - \dfrac{2}{x + 3}}$
      $\phantom{f'(x)}=\dfrac{\dfrac{2}{(x+3)^2}}{ \dfrac{2(x+3)-2}{x + 3}}$
      $\phantom{f'(x)}=\dfrac{\dfrac{2}{(x+3)^2}}{ \dfrac{2x+4}{x + 3}}$
      $\phantom{f'(x)}=\dfrac{2}{(x+3)^2}\times \dfrac{x + 3}{2x+4}$
      $\phantom{f'(x)}=\dfrac{2}{(x+3)^2}\times \dfrac{x + 3}{2x+4}$
      $\phantom{f'(x)}=\dfrac{2}{(x+3)(2x+4)}$

      On a $f(-1)=0$ et $f'(-1)=\dfrac{2}{(-1+3)(2\times(-1)+4)}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$
      et $f(-1)=0$
      $T$: $y=f'(-1)(x-(-1))+f(-1)$ aux signes $-$ successifs $(x-(-1))$
      $y=\dfrac{1}{2}(x+1)$
      $\phantom{y}=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{2}$


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