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Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $D$ (on ne demande pas de justifier l'existence de $F$).
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- $f(x)=e^{2x-3}$ avec $D=\mathbb{R}$
Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$$f(x)=\dfrac{1}{2}\times 2e^{2x-3}$ et on pose $u(x)=2x-3$$f(x)=\dfrac{1}{2}\times 2e^{2x-3}$
En posant $u(x)=2x-3$ on a $u'(x)=2$
On a alors $f(x)=\dfrac{1}{2}\times u'(x)e^{u(x)}$
donc $F(x)=\dfrac{1}{2}e^{u(x)}=\dfrac{e^{2x-3}}{2}$
On a alors $F'(x)=\dfrac{1}{2}\times (2x-3)'e^{2x-3}=e^{2x-3}=f(x)$
On peut aussi remarque que pour obtenir $e^{2x-3}$ en dérivant, il faut une primitive de la forme $e^{2x-3}$.
On a alors $\left(e^{2x-3}\right)'=(2x-3)'e^{2x-3}=2e^{2x-3}$
donc $\left(e^{2x-3}\right)'=2e^{2x-3}$ soit $\left(\dfrac{e^{2x-3}}{2}\right)'=e^{2x-3}$ - $f(x)=e^{-x}$ avec $D=\mathbb{R}$
- $f(x)=e^{1-3x}$ avec $D=\mathbb{R}$
$f(x)=\dfrac{-1}{3}\times e^{1-3x}$ et on pose $u(x)=1-3x$$f(x)=\dfrac{-1}{3}\times (-3)e^{1-3x}$
En posant $u(x)=1-3x$ on a $u'(x)=-3$
On a alors $f(x)=\dfrac{-1}{3}\times u'(x)e^{u(x)}$
donc $F(x)=\dfrac{-1}{3}e^{u(x)}=\dfrac{-e^{1-3x}}{3}$
On a alors $F'(x)=\dfrac{-1}{3}\times (1-3x)'e^{1-3x}=\dfrac{-1}{3}\times (-3)e^{-3x}=e^{-3x}=f(x)$
On peut aussi remarque que pour obtenir $e^{1-3x}$ en dérivant, il faut une primitive de la forme $e^{1-3x}$.
On a alors $\left(e^{1-3x}\right)'=(1-3x)e^{1-3x}=-3e^{1-3x}$
donc $\left(e^{1-3x}\right)'=-3e^{1-3x}$ soit $\left(\dfrac{e^{1-3x}}{-3}\right)'=e^{1-3x}$ - $f(x)=xe^{x^2}$ avec $D=\mathbb{R}$
Cas de la fonction $e^{u}$
La fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=e^{u(x)}$ avec $u$ fonction dérivable sur $I$ est dérivable sur $I$ et $f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$Si on pose $u(x)=x^2$ on a alors $u'(x)=2x$ et $f(x)=\dfrac{1}{2}u'(x)e^{u(x)}$$f(x)=\dfrac{1}{2}\times (2x)e^{x^2}$
En posant $u(x)=x^2$ on a $u'(x)=2x$
On a alors $f(x)=\dfrac{1}{2}\times u'(x)e^{u(x)}$
On a donc $F(x)=\dfrac{1}{2}e^{u(x)}=\dfrac{e^{x^2}}{2}$
En effet $F'(x)=\dfrac{1}{2}\times (x^2)'e^{x^2}=xe^{x^2}=f(x)$
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