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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=10+(x-3)e^x$.
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- On pose $G(x)=(x-4)e^x$ définie sur $\mathbb{R}$.
Calculer $G'(x)$.Formules de dérivation (produit, quotient...)
On pose $u(x)=x-4$ et $v(x)=e^x$ et on a $G(x)=u(x)v(x)$On pose $u(x)=x-4$ et $v(x)=e^x$ et on a $G(x)=u(x)v(x)$
$u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ donc $G$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
$u'(x)=1$ et $v'(x)=e^x$
$G'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
$\phantom{G'(x)}=1e^x+(x-4)e^x$
$\phantom{G'(x)}=e^x(1+x-4)$
$\phantom{G'(x)}=e^x(x-3)$
- En déduire $\int_0^3 f(x)dx$.
Intégrale
La fonction $f$ est continue sur $[ab]$ et $F$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$
$\int_a^b f(x)dx=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$Il faut chercher une primitive de $f$ sachant que $f(x)=10+G'(x)$$G'(x)=(x-3)e^x$ donc $G$ est une primitive de la fonction $x \longmapsto (x-3)e^x$ sur $\mathbb{R}$
$f(x)=10+(x-3)e^x=10+G'(x)$
donc $F(x)=10x+G(x)=10x+(x-4)e^x$
$F(0)=10\times 0+(0-4)e^0=-4$ car $e^0=1$
$F(3)=10\times 3+(3-4)e^3=30-e^3$
$\int_0^3 f(x)dx=[F(x)]_0^3=F(3)-F(0)=30-e^3-(-4)=34-e^3$
penser à contrôler le résultat avec la calculatrice - Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur $[0;3]$
Formules de dérivation (produit, quotient...)
On pose $u(x)=x-3$ et $v(x)=e^x$On pose $u(x)=x-3$ et $v(x)=e^x$ dérivables sur $[0;3]$
et on a $f(x)=10+u(x)v(x)$ dérivable sur $[0;3]$
$u'(x)=1$ et $v'(x)=e^x$
$f'(x)=0+u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
$=1e^x+(x-3)e^x$
$=e^x(1+x-3)$
$=e^x(x-2)$
$e^x >0$ donc $f'(x)$ est du signe de $x-2$
$f(0)=10+(0-3)e^0=7$ (rappel $e^0=1$)
$f(2)=10+(2-3)e^2=10-e^2$
$f(3)=10+(3-3)e^3=10$ - En déduire le signe de $f(x)$ sur $[0;3]$.
- On donne ci-dessous la représentation graphique de $f$.
Déterminer ce que représente le résultat de la question 2 sur le graphique en justifiant la réponse.
Aire et intégrale
$f$ est une fonction continue et positive sur $[a;b]$ avec $a < b$.
$\int_a^b f(x)dx$ est l'aire, en unités d'aires, du domaine limité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.
Attention il faut faire le lien entre aire et intégrale pour justifier la réponseSur $[0;3]$ on a $f$ continue et $f(x)>0$
donc $\int_0^3 f(x)dx$ est l'aire $A$ du domaine limité par la courbe, l'axe des abscisses et le droites d'équations $x=0$ et $x=3$
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