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En utilisant une intégration par parties, calculer les intégrales suivantes:
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- $I=\displaystyle \int_0^{\pi} xcos(x) dx$
Primitives des fonctions usuelles
Intégration par parties
$u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur $[1;b]$.
$\displaystyle \int_a^b u'v=[uv]_a^b-\int_a^b uv'$On pose $u'(x)=cos(x)$ et $v(x)=x$On pose $u'(x)=cos(^)x$ et $v(x)=x$
On a alors $u(x)=sin(x)$ et $v'(x)=1$
$I=\displaystyle \int_0^{\pi} xcos(x) dx$
$=\displaystyle \int_0^{\pi} u'(x)v(x) dx$
$=[u(x)v(x)]_0^\pi-\displaystyle \int_0^\pi u(x)v'(x)dx$
$=[xsin(x)]_0^\pi-\displaystyle \int_0^\pi sin(x)dx$
$=\pi sin(\pi)-0sin(0)-[-cos(x)]_0^{\pi}$
$=-(-cos(\pi)+cos(0))$
$=-(1+1)$ (rappel $cos(0)=1$ et $cos(\pi)=-1$)
$=-2$
Penser à contrôler avec la calculatrice - $I=\displaystyle \int_0^{\dfrac{\pi}{2}}xsin(2x)dx$
On pose $u'(x)=sin(2x)$ et $v(x)=x$
Rappel: $(sin(ax))'=acos(x)$On pose $u'(x)=sin(2x) $ et $v(x)=x$
On a alors $u(x)=\dfrac{-cos(2x)}{2}$ et $v'(x)=1$
$I=\displaystyle \int_0^{\dfrac{\pi}{2}} xsin(2x) dx$
$=\displaystyle \int_0^{\dfrac{\pi}{2}} u'(x)v(x) dx$
$=[u(x)v(x)]_0^{\dfrac{\pi}{2}}-\displaystyle \int_0^{\dfrac{\pi}{2}} u(x)v'(x)dx$
$=\left[x\dfrac{-cos(2x)}{2}\right]_0^{\dfrac{\pi}{2}}-\displaystyle \int_0^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{-cos(2x)}{2}dx$
$=\dfrac{\pi}{2}\dfrac{-cos\left(\pi\right)}{2}-0\dfrac{cos(0)}{2}-\left[-\dfrac{sin(2x)}{4}\right]_0^{\dfrac{\pi}{2}}$
$=\dfrac{\pi}{4}-\left(\dfrac{-sin(\pi)}{4}+\dfrac{sin(0)}{4}\right)$
$=\dfrac{\pi}{4}$
Penser à contrôler avec la calculatrice
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