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- Montrer que $I=\displaystyle \int_0^1 x^2e^x dx=e-\displaystyle \int_0^1 2xe^x dx$
Primitives des fonctions usuelles
Intégration par parties
$u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur $[1;b]$.
$\displaystyle \int_a^b u'v=[uv]_a^b-\int_a^b uv'$On pose $u'(x)=e^x$ et $v(x)=x^2$On pose $u'(x)=e^x$ et $v(x)=x^2$
On a alors $u(x)=e^x$ et $v'(x)=2x$
$I=\displaystyle \int_0^1 x^2e^x dx$
$=\displaystyle \int_0^1 u'(x)v(x) dx$
$=[u(x)v(x)]_0^1-\displaystyle \int_0^1 u(x)v'(x) dx$
$=[x^2e^x]_0^1-\displaystyle \int_0^1 2xe^x dx$
$=1^2e^1-0e^0-\displaystyle \int_0^1 2xe^x dx$
$=e-\displaystyle \int_0^1 2xe^x dx$
- Calculer $I_1=\displaystyle \int_0^1 xe^x dx$
On pose $u'(x)=e^x$ et $v(x)=x$On pose $u'(x)=e^x$ et $v(x)=x$
On a $u(x)=e^x$ et $v'(x)=x$
$I_1=\displaystyle \int_0^1 xe^x dx$
$=\displaystyle \int_0^1 u'(x)v(x) dx$
$=[u(x)v(x)]_0^1-\displaystyle \int_0^1 u(x)v'(x) dx$
$=[xe^x]_0^1-\displaystyle \int_0^1 e^xdx$
$=1e^1-0e^0-[ e^x]_0^1$
$=e-(e^1-e^0)$
$=e-e+1$
$=1$
- En déduire la valeur exacte de $I$
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