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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $[0;1]$ par $f(x)=xln(x+1)+1$.
On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.
$C_f$ est donnée ci-dessous.
On veut déterminer une approximation de $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$.
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On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.
$C_f$ est donnée ci-dessous.

On veut déterminer une approximation de $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$.
- Que représente $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$ sur le graphique?
Aire et intégrale
$f$ est une fonction continue et positive sur $[a;b]$ avec $a < b$.
$\int_a^b f(x)dx$ est l'aire, en unités d'aires, du domaine limité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$.
$f$ est continue sur $[0;1]$ ($xln(x+1)$ est produit de deux fonctions continues sur $[0;1]$).
$x\geq 0$ donc $x+1 \geq 1$ donc $ln(x+1) \geq 0$
et on a $f(x)>0$ sur $[0;1]$.
$f$ est continue et $f(x)>0$ sur $[0;1]$ donc $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$ est l'aire, en unités d'aires, du domaine (en rouge ci-dessous) limité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.
- Calculer $f(0)$ puis $\displaystyle \int_0^1 f(0)dx$.
- On utilise deux rectangles de largeur 0,5 pour approximer l'aire correspondant à $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$.
En utilisant ces deux rectangles, donner une approximation de l'aire cherchée.Il faut calculer $f(0)$ et $f(0,5)$$f(0)=1$ et $f(0,5)=0,5ln(1,5)+1\approx 1,2$
Si on note $A_1$ l'aire du rectangle de largeur 0,5 et hauteur $f(0)$ (rectangle de gauche) et $A_2$ l'aire du rectangle de largeur 0,5 et hauteur $f(0,5)$ (rectangle de droite) on a:
$A_1=0,5\times 1=0,5$ unités d'aires et $A_2=0,5\times (0,5ln(1,5)+1)=0,25ln(1,5)+0,5$ unités d'aires.
- On veut maintenant partager l'intervalle $[0;1]$ en $n$ intervalles d'amplitude $\dfrac{1}{n}$(voir graphique ci-dessous) et calculer la somme des aires des rectangles obtenus comme dans le cas précédent.
On note $x_k$ les abscisses $\dfrac{k}{n}$ avec $k$ entier naturel compris entre 0 et $n-1$.
Exprimer l'aire de chacun des rectangles en fonction de $n$Il faut calculer la hauteur de chaque rectangle en fonction de l'abscisse $\dfrac{k}{n}$$f\left(\dfrac{k}{n}\right)=\dfrac{k}{n}\times ln\left(\dfrac{k}{n}+1\right)+1$
donc $A_n=\dfrac{1}{n}\times \dfrac{k}{n}\times ln\left(\dfrac{k}{n}+1\right)+1=\dfrac{k\times ln\left(\dfrac{k}{n}+1\right)}{n^2}+\dfrac{1}{n}$ - On donne l'algorithme ci-dessous permettant de calculer la somme des aires des rectangles obtenus en divisant l'intervalle $[0;1]$ en $n$ intervalles de même amplitude.
Que représente $A$? $n$? et $x$?$A$ représente la somme des aires des rectangles.
$n$ représente le nombre de rectangles permettant d'approximer l'aire cherchée.
et $x$ représente les abscisses des points successifs pris pour calculer la hauteur de chaque rectangle. - Quel est le calcul effectué à la ligne 11?
$\dfrac{1}{n}$ est la largeur du rectangle pour lequel on calcule l'aire.
$xln(x+1)+1$ correspond dont à la hauteur du rectangle
et donc $\frac{1}{n}\times (xln(x+1)+1)$ l'aire du rectangle à ajouter à la somme des aires
- Ecrire le programme en Python .
$ln(x)$ en python s'écrit $log(x,e)$ (logarithme décimal de base $e$input: saisir une variable
x=input("saisir la valeur de x") --> permet de saisir la valeur de x par l'utilisateur
Si on veut saisir un entier par exemple: x=int(input("saisir un nombre entier"))
Si on veut saisir un réel x=float(input("saisir un nombre"))Boucle POUR
for i in range(n) : --> i varie de 0 à n-1 soit n passages dans la boucle
instructions de la boucle pour
for i in range(a,n) : --> i varie de a à n-1
instructions de la boucle pour
ln(x) s'écrit log(x,e) (logarithme décimal de base e) - Donner une approximation pour $n=10$ puis pour $n=50$ de $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$ puis contrôler avec la calculatrice.
Avec Casio:
OPTION puis CALC puis $\int$ avec la syntaxe $\int(xln(x+1)+1$,0,1).
Avec TI: MATHS puis fnInt (numéro 9) avec la syntaxe fnInt($xln(x+1)+1$,$X$,0,1)
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Aires et intégrales
- approximation d'une intégrale avec le graphique
- calcul d'une aire et rédaction type avec une fonction positive
infos: | 15mn |
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