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On considère la fonction numérique $f$ définie sur $[0;1]$ par $f(x)=xe^{2x}-0,2x+1$.
On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.
$C_f$ est donnée ci-dessous.
On veut déterminer une approximation de $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$.
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On note $(C_f)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.
$C_f$ est donnée ci-dessous.
On veut déterminer une approximation de $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$.
- Que représente $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$ sur le graphique?
$f$ est continue sur $[0;1]$ ($xe^{2x}$ est produit de deux fonctions continues sur $[0;1]$).
$x\geq 0$, $e^{2x}> 0$ et $0,2x+1>0$
donc on a $f(x)>0$ sur $[0;1]$.
$f$ est continue et $f(x)>0$ sur $[0;1]$ donc $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$ est l'aire, en unités d'aires, du domaine (en rouge ci-dessous) limité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.
- On utilise deux trapèzes de largeur 0,5 pour approximer l'aire correspondant à $\displaystyle \int_0^1 f(x)dx$.
En utilisant ces deux trapèzes, donner une approximation de l'aire cherchée.
On rappelle que l'aire d'une trapèze est donnée par:
Il faut calculer $f(0)$, $f(0,5)$ et $f(1)$.$f(0)=0e^{0}-0,2\times 0+1=1$
$f(0,5)=0,5e^{2\times 0,5}-0,2\times 0,5+1=0,5e+0,9$
$f(1)=1e^{2\times 1}-0,2\times 1+1=e^2+0,8$
Si on note $A_1$ l'aire du trapèze de largeur 0,5 avec $b=f(0)$ et $B=f(0,5)$(trapèze de gauche) et $A_2$ l'aire du trapèze de largeur 0,5 avec $b=f(0,5)$ et $B=f(1)$ (trapèze de droite) on a:
$A_1=\dfrac{0,5\times (f(0)+f(0,5))}{2}=0,25\times (1+0,5e+0,9)=0,475+0,125e$ unités d'aires
$A_2=\dfrac{0,5\times (f(0,5)+f(1))}{2}=0,25\times (0,5e+0,9+e^2+0,8)=0,425+0,125e+0,25e^2$ unités d'aires
$A_1+A_2=0,475+0,125e+0,425+0,125e+0,25e^2=0,9+0,25e+0,25e^2$
- On veut maintenant partager l'intervalle $[0;1]$ en $n$ intervalles d'amplitude $\dfrac{1}{n}$(voir graphique ci-dessous) et calculer la somme des aires des rectangles obtenus comme dans le cas précédent.
On note $x_k$ les abscisses $\dfrac{k}{n}$ avec $k$ entier naturel compris entre 0 et $n-1$.
Exprimer la valeur de $x_k$ (voir graphique) en fonction de $k$.
Quelles sont les valeurs prises par $k$? - Montrer que l'aire de chaque trapèze en fonction de $n$ et $k$ est $A_k=\dfrac{f\left(\dfrac{k}{n}\right)+f\left(\dfrac{k+1}{n}\right)}{2n}$
Il faut calculer la longueur de $b$ et $B$ pour chaque trapèze en fonction de l'abscisse $\dfrac{k}{n}$Chaque trapèze a pour largeur $\dfrac{1}{n}$.
On a $b=f\left(x_k\right)=f\left(\dfrac{k}{n}\right)$
et $B=f\left(x_{k+1}\right)=f\left(\dfrac{k+1}{n}\right)$
donc $A_k=\dfrac{1}{n}\times \dfrac{f\left(\dfrac{k}{n}\right)+f\left(\dfrac{k+1}{n}\right)}{2}=\dfrac{f\left(\dfrac{k}{n}\right)+f\left(\dfrac{k+1}{n}\right)}{2n}$ - Compléter l'algorithme ci-dessous permettant de calculer la somme des aires des trapèzes obtenus en divisant l'intervalle $[0;1]$ en $n$ intervalles de même amplitude.
$A$ représente la somme des aires des trapèzes.
$n$ représente le nombre de rectangles permettant d'approximer l'aire cherchée.
$\dfrac{k+1}{n}$ prend la valeur maximale 1 donc on doit avoir $k=0$ à $k=n-1$.
Pour $k=n-1$ on a bien $\dfrac{k+1}{n}=\dfrac{n-1+1}{n}=1$
A chaque passage dans la boucle, on ajoute l'aire du trapèze à l'aire $A$ qui est la somme des aires des trapèzes précédents.
On a alors l'algorithme suivant:
- Ecrire l'algorithme en Python et donner une valeur approchée de l'intégrale pour $n=50$ et contrôler avec la calculatrice.
input: saisir une variable
x=input("saisir la valeur de x") --> permet de saisir la valeur de x par l'utilisateur
Si on veut saisir un entier par exemple: x=int(input("saisir un nombre entier"))
Si on veut saisir un réel x=float(input("saisir un nombre"))Boucle TANT QUE
while test-à-faire : instructions de la boucle tant queAvec une CASIO Option puis CALC puis $\int$Dans l'algorithme ci-dessous on calcule d'abord les deux abscisses pour chaque trapèze ($x$ et $x1$) puis les deux ordonnées $y$ et $z$.
Avec Casio:
OPTION puis CALC puis $\int$ avec la syntaxe $\int($expression de $f$,0,1).
Avec TI: MATHS puis fnInt (numéro 9) avec la syntaxe fnInt(expression de $f$,$X$,0,1)
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Aires et intégrales
- approximation d'une intégrale avec le graphique
- calcul d'une aire et rédaction type avec une fonction positive
infos: | 15mn |
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