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Pour tout entier naturel $n$ on pose $I_n=\int_0^1 x^ne^xdx$
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- Calculer $I_0$.
Primitives des fonctions usuelles
Pour $n=0$ il faut chercher une primitive de $e^x$ car $x^0=1$$I_0=\int_0^1 x^0e^xdx=\int_0^1 e^x dx =[e^x]_0^1=e^1-e^0=e-1$
- Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante.
Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
Étudier le signe de l'expression obtenue
Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante. inlcude236fcludeOn peut étudier le signe de $I_{n+1}-I_n$
Si $f$ est positive sur $[a;b]$ avec $a < b$ alors $\int_a^b f(x)dx>0$$I_{n+1}-I_n=\int_0^1 x^{n+1}e^xdx-\int_0^1 x^ne^x dx$
$\phantom{I_{n+1}-I_n}=\int_0^1 x^{n+1}e^x- x^ne^x dx$
$\phantom{I_{n+1}-I_n}=\int_0^1 x^{n}\times xe^x- x^ne^x dx$
$\phantom{I_{n+1}-I_n}=\int_0^1 x^{n}e^x(x-1) dx$
Si on pose $f(x)=x^n(x-1)e^x$ sur $[0;1]$
on a alors $x^n\geq 0$, $x-1\leq 0$ et $e^x>0$ donc $f(x)\leq 0$
et donc $\int_0^1 f(x)dx\leq 0$
On a donc $I_{n+1}-I_n\leq 0$
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