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Soit A l'ensemble des nombres de quatre chiffres, le premier étant non nul.
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- Calculer le nombre d'éléments de A.
p-liste
Une $p$-liste de $E$ est une liste ordonnée de $p$ éléments de $E$ non nécessairement distincts.
Le nombre de $p$-liste de $E$ est $n^p$.
Par exemple, si $E={1;2;3;4}$.
$(1;2;3;4;4)$, $(1;2;2;3;1)$ et $(2;2;3;2;4)$ sont trois $5$-listes distinctes de $E$.On veut faire une 3-liste ordonnée avec répétitions des chiffres $0$ à $9$(soit 10 possibilités) et le premier chiffre est compris entre 1 et 9 (9 possibilités)On cherche à faire une liste ordonnée de 3 chiffres avec répétitions possibles formée avec les chiffres $0$ à $9$
donc une 3-liste de $E=\lbrace0;1;3;4;5;6;7;8;9\rbrace$
Il y donc $10^3$ listes possibles.
Le premier chiffre (chiffre des milliers) est compris entre 1 et 9 donc $A$ contient $9\times 10^3=9000$ nombres possibles
- Combien d'éléments de A sont composés de quatre chiffres distincts?
p-liste sans répétition
Soit $p\leq n$ Le nombre de $p$-listes de $p$ éléments de $E$ distincts est $A_p^n=n\times(n-1)\times(n-2)\times \dots \times (n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}$.
Si $p=n$, il s'agit du nombre de permutations de $n$ éléments soit $A_n^n=n!$
Remarques
Dans un arrangement (liste de $p$ éléments de $E$ distincts, on tient compte de l'ordre.On veut former une 3-liste sans répétitions en prenant parmi les 9 chiffres restants une fois le chiffre des milliers choisi.On choisit d'abord le chiffre des milliers parmi les chiffres allant de 1 à 9, il y a donc 9 possibilités.
Il faut ensuite former une 3-liste sans répétitions avec les 10 chiffres restants (de 0 à 9 sans le chiffre des milliers)
soit un arrangement de $3$ éléments parmi 10
$A_3^{10}=\dfrac{10!}{(10-6)!}=\dfrac{10!}{4!}=9\times 8\times 7\times 6\times 5 =151200$
Comme il y a 9 possibilités pour le premier chiffre, on a:
$9\times 151200=1360800$
- Combien d'éléments de A sont composés de quatre chiffres distincts autres que 5 et 7?
On choisit le chiffre des milliers parmi $9-2=7$ chiffres et les autres chiffres parmi les $10-3=7$ chiffres restantsOn choisit d'abord le chiffre des milliers parmi les chiffres allant de 1 à 9 sauf 5 et 7 donc il y a donc $9-2=7$ possibilités.
Il faut ensuite former une 3-liste sans répétitions avec les $10-3=7$ chiffres restants (de 0 à 10 sans le chiffre des milliers et sans le 5 et le 7)
soit un arrangement de $3$ éléments parmi 7
$A_3^7=\dfrac{7!}{(7-3)!}=\dfrac{7!}{4!}=7\times 6\times 5=210$
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