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On organise une loterie pour laquelle un billet sur cinq est un billet gagnant.
On note $G$ l'événement "le billet est un billet gagnant".
On suppose que le nombre de billets est très grand pour pouvoir assimiler le choix de plusieurs billets successivement à des tirages successifs avec remise.
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On note $G$ l'événement "le billet est un billet gagnant".
On suppose que le nombre de billets est très grand pour pouvoir assimiler le choix de plusieurs billets successivement à des tirages successifs avec remise.
- Calculer $p(G)$
- On achète cinq billets, montrer que la variable aléatoire donnant le nombre de billets gagnants parmi les 5 billets achetés suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
Loi binomiale
On considère une répétition de $n$ ($n\in \mathbb{N}^*$) épreuves de Bernoulli indépendantes et on note $p$ la probabilité de succès. l La variable aléatoire $X$ donnant le nombre de succès obtenus parmi $n$ épreuves de Bernoulli suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ notée $\mathbb{B}(n;p)$ include 243fcludeDéterminer l'épreuve de Bernouilli répétée.
Justifier l'indépendance (tirages avec remise) des épreuves de Bernouilli répétées puis conclure.On considère l'expérience aléatoire consistant à acheter un billet de loterie au hasard.
Cette expérience aléatoire n'a que deux issues possibles $G$ (le billet est gagnant) et $\overline{G}$ (le billet n'est pas gagnant), c'est donc une épreuve de Bernoulli.
Le nombre de billets est très grand et on peut assimiler le tirage des 5 billets successivement à cinq tirages successifs avec remise donc chaque épreuve de Bernoulli est indépendante des autres.
On répète cinq fois successivement une épreuve de Bernoulli de manière indépendante donc la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ donnant le nombre de billets gagnants parmi les cinq suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=p(G)=\dfrac{1}{5}=0,2$
- Quelle est alors la probabilité de ne pas gagner à la loterie en achetant cinq billets?
Probabilités avec la loi binomiale
Si la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, la probabilité d'obtenir $k$ succès parmi $n$ est:
$p(X=k)=\begin{pmatrix} n\\ k\\ \end{pmatrix}\times p^k\times (1-p)^{n-k}$On veut $X=0$Si $X$ est la variable aléatoire donnant le nombre de billets gagnants parmi les cinq, on veut ici calculer $p(X=0)$
$p(X=0)=\begin{pmatrix} 5\\ 0 \end{pmatrix} \times 0,2^0\times 0,8^5=0,8^5=0,32768$
car $\begin{pmatrix} 5\\ 0 \end{pmatrix}=1$
- En déduire la probabilité de gagner à la loterie en achetant 5 billets.
La probabilité de gagner est la probabilité d'avoir au moins un billet gagnant parmi les cinq billets achetés donc on veut $X\.geq 1$
$X\geq 1$ ets le contraire de $X=0$La probabilité de gagner est la probabilité d'avoir au moins un billet gagnant parmi les cinq billets achetés
Il faut donc calculer $p(X\geq 1)$.
$p(X\geq 1)=1-p(X<1)=1-p(X=0)=1-0,8^5=0,67232$
- Calculer l'espérance de $X$ et en donner une interprétation graphique.
Espérance de la loi binomiale
On considère la variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale de paramètres $n$ (nombre d'épreuves de Bernoulli indépendantes répétées) et $p$ (probabilité de l'événement $S$), on a alors: $E(X)=np$$E(X)=np=5\times 0,2=1$ En moyenne, il y aura un billet gagnant pour chaque série de cinq billets achetés.
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