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L'espace est muni d'un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ et on donne les points $A(2;3;-1)$ et $B(-4;1;5)$ et le vecteur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}
2\\
-3\\
4
\end{pmatrix} $
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- Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$.
Coordonnées d'un vecteur dans l'espace
L'espace est muni d'un repère quelconque.
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}=x_B-x_A=-4-2=-6\\ y_{\overrightarrow{AB}}=y_B-y_A=1-3=-2\\ z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=5-(-1)=6 \end{cases}$
- Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{u}$.
On calcule $x_{\overrightarrow{AB}}-2x_{\overrightarrow{u}}$....$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AB}}-2x_{\overrightarrow{u}}=-6-2\times 2=-10\\ y_{\overrightarrow{AB}}-2y_{\overrightarrow{u}}=-2-2\times (-3)=4\\ z_{\overrightarrow{AB}}-2z_{\overrightarrow{u}}=6-2\times 4=-2 \end{cases}$
- Calculer les coordonnées du point $C$ tel que $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{u}$.
Deux vecteurs sont égaux si leurs coordonnées sont égales$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{u}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_C-x_A=x_{\overrightarrow{u}}\\ y_C-y_A=y_{\overrightarrow{u}}\\ z_C-z_A=z_{\overrightarrow{u}} \end{cases}$
$\phantom{\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{u}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_C-2=2\\ y_C-3=-3\\ z_C-(-1)=4 \end{cases}$
$\phantom{\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{u}}\Longleftrightarrow \begin{cases} x_C=4\\ y_C=0\\ z_C=3 \end{cases}$
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