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Dans l'espace muni du repère orthonormé on donne le point $A(2;3;-4)$ et le vecteur $\overrightarrow{u}(2;-1;3)$.
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- Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ passant par $A$ de vecteur normal $\overrightarrow{u}$.
Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan
Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
$ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$$\overrightarrow{u}(2;-1;3)$ vecteur normal à $\mathcal{P}$ donc une équation de $\mathcal{P}$ est de la forme $2x-y+3z+d=0$
$A(2;3;-4) \in \mathcal{P} \Longleftrightarrow 2x_A-y_A+3z_A+d=0$
$~~~~~~~~~~~\Longleftrightarrow 4-3-12+d=0$
$~~~~~~~~~~~\Longleftrightarrow d=11$
- $(d)$ est une droite dont la représentation paramétrique est $\begin{cases}x=3-2t\\y=-1+t\\z=-2+3t\end{cases}$ avec $t\in \mathbb{R}$
Montrer que la droite $(d)$ et le plan $\mathcal{P}$ ne sont pas parallèles.Représentation paramétrique d'une droite
Dans l'espace muni d'un repère, la droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}(u_1;u_2;u_3)$ a pour représentation paramétrique $ \begin{cases} x=x_A+tu_1\\ y=y_A+tu_2\\ z=z_A+tu_3 \end{cases}$Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace
Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$Orthogonalité et produit scalaire
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.Il faut montrer qu'un vecteur directeur de $(d)$ n'est pas orthogonal à un vecteur normal au planUn vecteur directeur de $(d)$ est $\overrightarrow{w} \begin{pmatrix} -2\\1\\3 \end{pmatrix}$ (coefficients de $t$)
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}=2\times (-2)+(-1)\times 1+3\times 3=4\neq 0$
donc $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{w}$ ne sont pas orthogonaux
- Déterminer alors les coordonnées du point d'intersection de $(d)$ et $\mathcal{P}$.
Il faut remplacer $x$, $y$ et $z$ dans l'équation du plan par leurs expressions en fonction de $t$On a $\begin{cases}x=3-2t\\y=-1+t\\z=-2+3t\end{cases}$
et donc en remplaçant $x$, $y$ et $z$ dans l'équation de $\mathcal{P}$, on obtient l'équation d'inconnue $t$:
$2(3-2t)-(-1+t)+3(-2+3t)+11=0$
$\Longleftrightarrow 6-4t+1-t-6+9t+11=0$
$\Longleftrightarrow 4t=-12$
$\Longleftrightarrow t=-3$
$\begin{cases}x=3-2t=3-2\times (-3)=9\\y=-1+t=-1-3=-4\\z=-2+3t=-2+3\times (-3)=-11\end{cases}$
On peut vérifier que le point $I$ appartient à $\mathcal{P}$:
$2x_I-y_I+3z_I+11=2\times 9-(-4)+3\times (-11)+11=18+4-33+11=0$ donc $I\in \mathcal{P}$
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Représentation paramétrique d'une droite
- vecteur directeur
- déterminer une représentation paramétrique
- déterminer si deux droites sont parallèles ou orthogonale
- calculer les coordonnées du point d'intersection de deux droites sécantes
infos: | 20-25mn |
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