Publications MATHS-LYCEE.FR

mémo+exercices corrigés+liens vidéos

L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

RÉUSSIR EN MATHS, C'EST POSSIBLE!
Tous les chapitres avec pour chaque notion:
- mémo cours
- exercices corrigés d'application directe
- liens vidéos d'explications.
Il est indispensable de maîtriser parfaitement les notions de base et leur application directe pour pourvoir ensuite les utiliser dans la résolution de problèmes plus complexes.

Plus d'infos

Aide en ligne avec WhatsApp*, un professeur est à vos côtés à tout moment! Essayez!
Un cours particulier à la demande!

Envoyez un message WhatsApp au 07 67 45 85 81 en précisant votre nom d'utilisateur.
*période d'essai ou abonnés premium(aide illimitée, accès aux PDF et suppression de la pub)
PDF reservé aux abonnés
On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé.
On considère le point $A(0;4;1)$ et la droite $d$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}$ et passant par $B(2;3;1)$.
  1. Montrer que les coordonnées des points $M(x;y;z)$ appartenant à la sphère de centre $A$ et rayon $\sqrt{14}$ vérifient l'équation $x^2+(y-4)^2+(z-1)^2=14$

    Distance dans l'espace


    Si le repère de l'espace est orthonormé, la distance $AB$ est: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$
    $M$ appartient à la sphère de centre $A$ et rayon 3 si et seulement si $AM=3$ ou bien encore $AM^2=9$
    $M(x;y;z)$ appartient à la sphère $\mathcal{S}$ de centre $A$ et rayon $\sqrt{14}$
    $\Longleftrightarrow AM=\sqrt{14}$
    $\Longleftrightarrow AM^2=14$
    $\Longleftrightarrow (x-x_A)^2+(y-y_A)^2+(z-z_A)^2=14$
    $\Longleftrightarrow x^2+(y-4)^2+(z-1)^2=14$
  2. Déterminer une représentation paramétrique de $d$.

    Représentation paramétrique d'une droite


    Dans l'espace muni d'un repère, la droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}(u_1;u_2;u_3)$ a pour représentation paramétrique $ \begin{cases} x=x_A+tu_1\\ y=y_A+tu_2\\ z=z_A+tu_3 \end{cases}$
    la droite $d$ de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}$ et passant par $B(2;3;1)$
    donc si $M(x;y;z)$ appartient à $d$ on a:
    $\begin{cases} x=x_B+tx_{\overrightarrow{u}}=2+t\\ y=y_B+ty_{\overrightarrow{u}}=3-t\\ z=z_B+tz_{\overrightarrow{u}}=1+t \end{cases}$
  3. Déterminer, s'ils existent, les coordonnées des points d'intersection de la sphère $\mathcal{S}$ et de la droite $d$.
    On peut remplacer $x$, $y$ et $z$ par leurs expressions en fonction de $t$ dans l'équation de la sphère et résoudre l'équation d'inconnue $t$ obtenue ainsi.
    Un point appartient à $d$ si ses coordonnées vérifient la représentation paramétrique de $d$ soit $\begin{cases} x=2+t\\ y=3-t\\ z=1+t \end{cases}$
    On peut remplacer $x$, $y$ et $z$ dans l'équation de $\mathcal{S}$ et on a alors:
    $(2+t)^2+(3-t-4)^2+(1+t-1)^2=14 \Longleftrightarrow (2+t)^2+(-t-1)^2+(t)^2=14$
    $\phantom{(2+t)^2+(3-t-4)^2+(1+t-1)^2=14} \Longleftrightarrow 4+4t+t^2+t^2+2t+1+t^2=14$
    $\phantom{(2+t)^2+(3-t-4)^2+(1+t-1)^2=9} \Longleftrightarrow 3t^2+6t+5=14$
    $\phantom{(2+t)^2+(3-t-4)^2+(1+t-1)^2=14} \Longleftrightarrow 3t^2+6t-9=0$
    $t_1=1$ est une solution de $3t^2+6t-9=0$
    et le produit des racines du polynôme est $t_1t_2=\dfrac{c}{a}$ donc $t_2=\dfrac{-9}{3}=-3$
    On remplace ensuite $t$ par ses deux valeurs pour déterminer les coordonnées des deux points de $d$ pour lesquels $t_1=1$ et $t_2=-3$:
    $\begin{cases} x_1=2+t_1=2+1=3\\ y_1=3-t_1=3-1=2\\ z_1=1+t_1=1+1=2 \end{cases}$
    $\begin{cases} x_2=2+t_2=2-3=-1\\ y_2=3-t_2=3-(-3)=6\\ z_2=1+t_2=1-3=-2 \end{cases}$

Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)