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On note $\mathbb{C}$ l'ensemble des nombres complexes.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$. On prendra comme unité 2~cm sur chaque axe.
Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions.
On considère la fonction $f$ qui à tout nombre complexe $z$ associe $f(z) = z^2 + 2z + 9$.
  1. Calculer l'image de $- 1 + i\sqrt{3}$ par la fonction $f$.
    $(-1+i\sqrt{3})^2=(-1)^2+2\times (-1)\times i\sqrt{3}+(i\sqrt{3})^2$
    $f(- 1 + i\sqrt{3}) = (- 1 + i\sqrt{3})^2 + 2(- 1 + i\sqrt{3}) + 9$
    $\phantom{f(z)}=(-1)^2+2\times (-1)\times i\sqrt{3}+(i\sqrt{3})^2-2+2i\sqrt{3}+9$
    $\phantom{f(z)}=1-2i\sqrt{3}-3-2+2i\sqrt{3}+9$
    $\phantom{f(z)}=1-3-2+9$
    $\phantom{f(z)}=5$

    penser à contrôler le résultat avec la calculatrice (CASIO: OPTION puis CPLX)
  2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $f(z) = 5$.
    Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation.
    Construire alors dans un repère orthonormé d'unité 2cm, à la règle et au compas, les points A et B dont l'affixe est solution de l'équation (A étant le point dont l'affixe a une partie imaginaire positive).
    On laissera les traits de construction apparents.

    Équations du second degré à coefficients réels


    équation du second degré à coefficients réels
    Discriminant: $\Delta=b^2-4ac$
    - Si $\Delta \geq 0$, on résout dans $\mathbb{R}$
    Si $\Delta >0 $ il y a 2 racines $z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
    Si $\Delta <0$ alors on a deux racines complexes conjuguées:
    $z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\overline{z_1}$

    Forme trigonométrique


    Soit $z=x+iY$ un complexe.
    Le module de $z$ noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
    Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}
    On a alors $x=|z|cos(arg(z))$ et $y=|z|sin(arg(z))$ soit $z=|z|(cos(arg(z)+isin(arg(z))$
    Cette forme est appelée forme trigonométrique} de $z$.
    $f(z)=5 \Longleftrightarrow z^2 + 2z + 9=5 \Longleftrightarrow z^2 + 2z + 4=0$
    $f(z)=5 \Longleftrightarrow z^2 + 2z + 9=5 \Longleftrightarrow z^2 + 2z + 4=0$
    $\Delta=b^2-4ac=2^2-4\times 1\times 4=-12$
    $\Delta <0$ donc il y a deux racines complexes
    $z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta}|}{2a}=\dfrac{-2 +i\sqrt{12} }{2 }=\dfrac{-2+i2\sqrt{3}}{2}=-1+i\sqrt{3}$
    et $z_2=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta}|}{2a}=\dfrac{-2 -i\sqrt{12} }{2 }=\dfrac{-2-i2\sqrt{3}}{2}=-1-i\sqrt{3}$

    $|z_1|=\sqrt{(-1)^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{1+3}=2$
    $z_1=2\left(\dfrac{-1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$
    Si on note $\theta=arg(z_1)$ ($2\pi$), on a:
    $\begin{cases} cos(\theta)=\dfrac{-1}{2}\\ sin(\theta)=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}$
    donc $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ ($2\pi$)
    On a $\overline{z_1}=\overline{-1+i}=-1-i=z_2$
    donc $|z_2|=|z_1|$ et $arg(z_2)=-arg(z_1)=-\dfrac{2\pi}{3}$

    $Im(z_1)>0$ donc $z_1$ est l'affixe de $A$ et $z_2$ est l'affixe de $B$.
    $OA=|z_1|=OB=|z_2|=2$ donc $A$ et $B$ appartiennent au cercle de centre O et rayon 2.
    $Re(z_1)=Re(z_2)=-1$ donc $A$ et $B$ ont pour abscisse $-1$.
    Les points $A$ et $B$ sont donc les points d'intersection du cercle de centre O et rayon 2 et de la droite d'équation $x=-1$.
  3. Soit $\lambda$ un nombre réel. On considère l'équation $f(z) = \lambda$ d'inconnue $z$.
    Déterminer l'ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l'équation $f(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées.
    L'équation admet deux racines complexes conjuguées si $\Delta <0$
    $f(z) = \lambda \Longleftrightarrow z^2 + 2z + 9=\lambda$
    $\phantom{f(z) = \lambda} \Longleftrightarrow z^2 + 2z + 9-\lambda=0$
    $\Delta=2^2-4(9-\lambda)=4-36+4\lambda=-32+4\lambda=4(-8+\lambda)$
    $f(z)=\lambda$ admet deux racines complexes conjuguées si et seulement si $\Delta <0$
    $\Delta <0 \Longleftrightarrow -8+\lambda<0 \Longleftrightarrow \lambda < 8$
  4. Soit (F) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ vérifie $|f(z) - 8| = 3$.
    Prouver que (F) est le cercle de centre $\Omega(-1~;~0)$ et de rayon $\sqrt{3}$.
    Tracer (F) sur le graphique.
    $f(z)-8=(z+1)^2$ et $\left|(z+1)^2\right|=|z+1|^2$
    $f(z)-8=z^2+2z+9-8=z^2+2z+1=(z+1)^2$
    $|f(z)-8|=3 \Longleftrightarrow \left|(z+1)^2\right|=3$
    $\phantom{|f(z)-8|=3} \Longleftrightarrow |z+1|^2=3$
    $\phantom{|f(z)-8|=3} \Longleftrightarrow |z+1|=\sqrt{3}$
    On pose $\Omega$ d'affixe $z_{\Omega}=-1$ et on a alors $|z-z_{\Omega}|=|z+1|=\sqrt{3}$
    Si on pose $M$ d'affixe $z$, on a $\Omega M=\sqrt{3}$ donc $M$ appartient au cercle de centre $\Omega$ et rayon $\sqrt{3}$.

  5. Soit $z$ un nombre complexe, tel que $z = x + iy$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels.
    1. Montrer que la forme algébrique de $f(z)$ est $x^2 - y^2 + 2x + 9 +i(2xy + 2y)$.
      $(x+iy)^2=x^2+2ixy+(iy)^2$
      $f(z)=(x+iy)^2+2(x+iy)+9$
      $\phantom{f(z)}=x^2+2ixy+(iy)^2+2x+2iy+9$
      $\phantom{f(z)}=x^2+2ixy-y^2+2x+2iy+9$
      $\phantom{f(z)}=x^2+2x-y^2+9+2ixy+2iy$
      $\phantom{f(z)}=x^2+2x-y^2+9+i(2xy+2y)$
    2. On note (E) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ est telle que $f(z)$ soit un nombre réel.
      Montrer que (E) est la réunion de deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ dont on précisera les équations.
      Compléter le graphique en traçant ces droites.
      $f(z)$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle
      $f(z)\in \mathbb{R} \Longleftrightarrow Im(f(z))=0$
      $\phantom{f(z)\in \mathbb{R}} \Longleftrightarrow 2xy+2y=0$
      $\phantom{f(z)\in \mathbb{R}} \Longleftrightarrow y(2x+2)=0$
      $\phantom{f(z)\in \mathbb{R}} \Longleftrightarrow y=0$ ou $2x+2=0$
      $\phantom{f(z)\in \mathbb{R}} \Longleftrightarrow y=0$ ou $x=-1$
      donc $f(z)\in \mathbb{R}$ si le point $M$ d'affixe $z$ appartient à la droite d'équation $y=0$ ou bien à la droite d'équation $x=-1$

  6. Déterminer les coordonnées des points d'intersection des ensembles (E) et (F).
    On cherche les points d'intersection des droites $D_1$ et $D_2$ et du cercle (F) de centre $\Omega(-1~;~0)$ et de rayon $\sqrt{3}$
    (F) est le cercle de centre $\Omega(-1~;~0)$ et de rayon $\sqrt{3}$
    donc $\Omega \in D_1$ et donc les points d'intersection $M_1$ et $M_2$ du cercle (F) et de $D_1$ sont tels que $[M_1M_2]$ est un diamètre de (F)
    donc $M_1(-1+\sqrt{3};0)$ et $M_2(-1-\sqrt{3};0)$.
    $\Omega \in D_2$ et donc les points d'intersection $M_3$ et $M_4$ du cercle (F) et de $D_2$ sont tels que $[M_3M_4]$ est un diamètre de (F)
    donc $M_3(-1;\sqrt{3})$ et $M_4(-1;\sqrt{3})$



    On peut aussi utiliser une équation du cercle (F) de centre $\Omega(-1;0)$ et rayon $r=\sqrt{3}$
    (F) a pour équation $(x-x_{\Omega})^2+(y-y_{\Omega})^2=r^2$ soit $(x+1)^2+y^2=3$
    Si $M(x;y)$ appartient à $D_1$ alors $y=0$.
    On a alors $(x+1)^2=3 \Longleftrightarrow x+1=\sqrt{3}$ ou $x+1=-\sqrt{3} \Longleftrightarrow x=-1+\sqrt{3}$ ou $x=-1-\sqrt{3}$
    De même si $M(x;y)$ appartient à $D_2$ alors $x=-1$.
    On a alors $y^2=3$ donc $y=\sqrt{3}$ ou $y=-\sqrt{3}$.

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