$2\times 5-4\times 3=-2\neq 0$
\res {donc $A$ est inversible.

On a $a=2$, $b=4$, $c=3$ et $d=5$
et $det(A)=-2$
$A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a \end{pmatrix}=\dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix} 5&-4\\-3&2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2,5&2\\1,5&-1 \end{pmatrix}$
$A^{-1}=\begin{pmatrix} -2,5&2\\1,5&-1 \end{pmatrix}$
Remarque
On peut aussi déterminer l'inverse de $A$ en résolvant deux systèmes d'équations.
En posant $A^{-1}=\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}$ on a:
$A\times A^{-1}=\begin{pmatrix} 2&4\\ 3&5\\ \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix}$
$\phantom{A\times A-1}=\begin{pmatrix} 2a+4c&2b+4d\\ 3a+5c&3b+5d \end{pmatrix}$
$A\times A^{-1}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}$ donc on a les deux systèmes d'équations suivants:
$\begin{cases} 2a+4c=1\\ 3a+5c=0 \end{cases}$ d'une part et $\begin{cases} 2b+4d=0\\ 3b+5d=1 \end{cases}$ d'autre part.
On peut résoudre ces systèmes par combinaisons :
$\begin{cases} 2a+4c=1\\ 3a+5c=0 \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} -2a=5~~5L_1-4L_2\\ 2c=3~~3L_1-2L_2 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} a=\dfrac{-5}{2}\\ c=\dfrac{3}{2} \end{cases}$
$\begin{cases} 2b+4d=0\\ 3b+5d=1 \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} -2b=-4~~5L_1-4L_2\\ 2d=-2~~3L_1-2L_2 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} b=2\\ c=-1\end{cases}$
donc $A^{-1}=\begin{pmatrix} -2,5&2\\ 1,5&-1 \end{pmatrix}$

Avec la calculatrice, on a bien $A^{-1}=\begin{pmatrix} -2,5&2\\ 1,5&-1 \end{pmatrix}$ et $A\times A^{-1}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}$