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L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

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On donne la matrice $A=\begin{pmatrix} -2&-1\\ 5&2 \end{pmatrix}$
  1. Calculer $A^2$.

    Produit de deux matrices


    Le produit de la matrice $A=(a_{ij})$ de dimensions $n\times p$ par la matrice $B=(b_{ij})$ de dimensions $p\times m$ est la matrice $C=(c_{ij})=A\times B$ de dimensions $n\times m$ telle que $c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{ip}b_{pj}=\sum_k=1^p a_{ik}b_{kj}$}
    Schématiquement on a:
    Il faut calculer $A^2=A\times A$
    $A^2=A\times A=\begin{pmatrix} -2&-1\\ 5&2 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -2&-1\\ 5&2 \end{pmatrix}$
    $\phantom{A^2=A\times A}=\begin{pmatrix} -2\times (-2)+(-1)\times 5&-2\times (-1)+(-1)\times 2\\ 5\times (-2)+2\times 5&5\times (-1)+2\times 2 \end{pmatrix}$
    $\phantom{A^2=A\times A}=\begin{pmatrix} -1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$


    Penser à contrôler les calculs avec la calculatrice
  2. En déduire $A^4$.
    $A^4=A^2\times A^2$
    $A^2=\begin{pmatrix} -1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$
    $A^4=A^2\times A^2=\begin{pmatrix} -1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$
    $\phantom{A^4=A^2\times A^2}=\begin{pmatrix} -1\times (-1)+0\times 0&-1\times 0+0\times (-1)\\ 0\times (-1)+(-1)\times 0&0\times 0+(-1)\times (-1) \end{pmatrix}$
    $\phantom{A^4=A^2\times A^2}=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}$
  3. En déduire $A^{-1}$
    $A^4=A\times A^3=I_2$
    $A^4=A\times A^3=I_2$ donc $A^{-1}=A^3$
    $A^3=A^2\times A=\begin{pmatrix} -1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -2&-1\\ 5&2 \end{pmatrix}$
    $\phantom{A^3=A^2\times A}=\begin{pmatrix} -1\times (-2)+0\times 5&-1\times (-1)+0\times 2\\ 0\times (-2)+(-1)\times 5&0\times (-1)+(-1)\times 2 \end{pmatrix}$
    $\phantom{A^3=A^2\times A}=\begin{pmatrix} 2&1\\ -5&-2 \end{pmatrix}$
  4. Retrouver $A^{-1}$ avec le résultat du cours

    Déterminant d'une matrice carrée d'ordre 2


    Soit $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$
    le déterminant de $A$ noté $det(A)$ est le réel $det(A)=ad-bc$}

    Inverse d'une matrice carrée d'ordre 2


    Soit $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$ telle que $det(A)\neq 0$.
    $A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a \end{pmatrix}$
    $A=\begin{pmatrix} a&b\\ c&d \end{pmatrix} $
    avec $a=-2$, $b=-1$, $c=5$ et $d=2$
    et $det(A)=ad-bc=-2\times 2-(-1)\times 5=-4+5=1$
    $A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a \end{pmatrix}=\dfrac{1}{1}\begin{pmatrix} 2&1\\-5&-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&1\\-5&-2 \end{pmatrix}$

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