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L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

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Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant:
  1. $|2z-i|=1$

    Distances et modules


    Soient $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
    $AB=|z_B-z_A|$
    Il faut se ramener à une égalité de la forme $|z-z_A|=k$
    Méthode géométrique
    $|2z-i|=1 \Longleftrightarrow \left|2\left(z-\dfrac{i}{2}\right)\right|=1$
    $\phantom{|2z-i|=1} \Longleftrightarrow |2|\left|\left(z-\dfrac{i}{2}\right)\right|=1$
    $\phantom{|2z-i|=1} \Longleftrightarrow 2\left|\left(z-\dfrac{i}{2}\right)\right|=1$ (on a $|2|=2$)
    $\phantom{|2z-i|=1} \Longleftrightarrow \left|\left(z-\dfrac{i}{2}\right)\right|=\dfrac{1}{2}$
    On pose $z_A=\dfrac{i}{2}$ et on a alors $\left|\left(z-\dfrac{i}{2}\right)\right|=|z-z_A|=AM$
    $|2z-i|=1 \Longleftrightarrow AM=\dfrac{1}{2}$

    Méthode analytique
    On pose $z=x+iy$
    $|2z-i|=1 \Longleftrightarrow |2(x+iy)-i|=1$
    $\phantom{|2z-i|=1} \Longleftrightarrow |2x+i2y-i|=1$
    $\phantom{|2z-i|=1} \Longleftrightarrow \sqrt{(2x)^2+(2y-1)^2}=1$
    $\phantom{|2z-i|=1} \Longleftrightarrow 4x^2+(2y-1)^2=1$
    $\phantom{|2z-i|=1} \Longleftrightarrow 4x^2+\left(2\left(y-\dfrac{1}{2}\right)\right)^2=1$
    $\phantom{|2z-i|=1} \Longleftrightarrow 4x^2+4\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2=1$
    $\phantom{|2z-i|=1} \Longleftrightarrow 4\left(x^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2\right)=1$
    $\phantom{|2z-i|=1} \Longleftrightarrow x^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}$
    on a donc $(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=r^2$ avec $A(0;\dfrac{1}{2})$ et $r=\dfrac{1}{2}$

  2. $|i-2z|=-1$
    On a $|Z|\geq 0$
    $|i-2z|\geq 0$
  3. $\left|\dfrac{z+1}{z+2}\right|=1$
    On peut utiliser les points $A$ d'affixe $z_A=-1$ et $B$ d'affixe $z_B=-2$
    On pose $A$ d'affixe $z_A=-1$ et $B$ d'affixe $z_B=-2$.
    $\left|\dfrac{z+1}{z+2}\right|=1\Longleftrightarrow \dfrac{|z+1|}{|z+2|}=1$
    $\phantom{\left|\dfrac{z+1}{z+2}\right|=1}\Longleftrightarrow |z+1|=|z+2|$
    $\phantom{\left|\dfrac{z+1}{z+2}\right|=1}\Longleftrightarrow |z-(-1)|=|z-(-2)|$
    $\phantom{\left|\dfrac{z+1}{z+2}\right|=1}\Longleftrightarrow AM=BM$
    donc $M$ est équidistant de $A$ et $B$
  4. $arg\left(\dfrac{z-2i}{z-1+2i}\right)=\dfrac{\pi}{2} (\pi)$

    Angles et argument d'un quotient


    Soient $A$ , $B$ et $C$ quatre points distincts d'affixes respectives $z_A$, $z_B$ et $z_C$.
    $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)$
    On pose $A$ d'affixe $z_A=2i$ et $B$ d'affixe $1-2i$
    On pose $A$ d'affixe $z_A=2i$ et $B$ d'affixe $1-2i$
    On a alors $\dfrac{z-2i}{z-1+2i}=\dfrac{z-z_A}{z-z_B}$ avec $z\neq z_A$ et $z\neq z_B$
    et donc $arg\left(\dfrac{z-2i}{z-1+2i}\right)=arg\left(\dfrac{z-z_A}{z-z_B}\right)=(\overrightarrow{BM};\overrightarrow{AM})$
    On veut donc $(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{BM})=\dfrac{\pi}{2} (\pi)$
    On a donc $ABM$ triangle rectangle en $M$

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