Publications MATHS-LYCEE.FR

mémo+exercices corrigés+liens vidéos

L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

RÉUSSIR EN MATHS, C'EST POSSIBLE!
Tous les chapitres avec pour chaque notion:
- mémo cours
- exercices corrigés d'application directe
- liens vidéos d'explications.
Il est indispensable de maîtriser parfaitement les notions de base et leur application directe pour pourvoir ensuite les utiliser dans la résolution de problèmes plus complexes.

Plus d'infos

Aide en ligne avec WhatsApp*, un professeur est à vos côtés à tout moment! Essayez!
Un cours particulier à la demande!

Envoyez un message WhatsApp au 07 67 45 85 81 en précisant votre nom d'utilisateur.
*période d'essai ou abonnés premium(aide illimitée, accès aux PDF et suppression de la pub)
PDF reservé aux abonnés vidéo de l'exercice
  1. Donner la liste des restes dans la division euclidienne de $2^n$ par $5$

    Intersection et réunion de deux intervalles


    $I$ et $J$ sont deux intervalles de $\mathbb{R}$
    $I\cap J$ est l'intersection des intervalles $I$ et $J$, c'est à dire l'ensemble des réels qui appartiennent à la fois à $I$ et à $J$
    $I\cup J$ est la réunion des intervalles $I$ et $J$, c'est à dire l'ensemble des réels qui appartiennent à $I$ou bien à $J$
    Exemple: $I=[-1;4]$ et $J=]-5;2[$
    alors $I\cap J=[-1;2[$
    et $I\cup J=]-5;4]$
    Remarque: On peut représenter ces deux intervalles sur un axe gradué pour déterminer leur réunion et leur intersection.
    On peut chercher les restes de $2^0$, $2^1$...
    $2^0=1$ donc $2^0\equiv 1$ $(5)$
    $2^1=2$ donc $2^1\equiv 2$ $(5)$
    $2^2=4$ donc $2^2\equiv 4$ $(5)$
    $2^3=8$ donc $2^3\equiv 3$ $(5)$ car $8=5\times 1+3$
    $2^4=16$ donc $2^4\equiv 1$ $(5)$ car $16=5\times 3+1$
    On retrouve le même reste que pour $2^0$ donc on a une période de $4$.
    On a les restes $1$, $2$, $4$ et $3$.
    On pose $n=4q+r$ avec $q$ et $r$ entiers naturels et $0\leq r < 4$ donc $2^n=2^{4q+r}$
    $2^n=2^{4q+r}= (2^4)^q\times 2^r$
    $2^4 \equiv 1$ $(5)$ donc $2^{4q}\equiv 1^q$ $(5)$ soit $2^{4q}\equiv 1$ $(5)$
    donc $2^n\equiv 1\times 2^r $ $(5)$ soit $2^n\equiv 2^r$ $(5)$

  2. En déduire le reste de la division euclidienne de $2^{35}-1$ par $5$.
    On peut déterminer à quel nombre est congru $35$ modulo $4$ puis utiliser le tableau de la question 1
    On a donc $n=35$ et on va donc chercher à quel entier est congru $35$ modulo $4$ pour utiliser le tableau de la question 1
    $35=4\times 8+3$ donc $35\equiv 3$ $(4)$
    On a donc $n=35$ et $n\equiv 3$ $(4)$
    avec le tableau du 1, si $n\equiv 3$ $(4)$ alors on a $2^{35}\equiv 3$ $(5)$
    et $-1\equiv -1$ $(5)$
    donc $2^{35}-1\equiv 3-1$ $(5)$
    soit $2^{35}-1\equiv 2$ $(5)$

Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)