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L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

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  1. Montrer que pour tout entier $n$ on a $n(n-1)$ pair.
    Un entier pair est de la forme $2k$ avec $k$ entier relatif
    Si $n$ est pair alors il existe un entier relatif $k$ tel que $n=2k$.
    $n(n-1)=2k(n-1)=2K$ avec $K=k(n-1)$ entier relatif
    donc $n(n-1)$ est pair
    Si $n$ est impair alors il existe un entier relatif $k'$ tel que $n=2k'+1$
    $n(n-1)=n(2k'+1-1)=n(2k')=2nk'=2K'$ avec $K'=nk'$ entier relatif
    donc $n(n-1)$ est pair
  2. Montrer que si $n$ est impair alors $n^2-1$ est divisible par $8$.

    Entiers pairs et impairs


    Si $n$ est un entier relatif pair alors il existe un entier relatif $k$ tel que $n=2k$
    Si $n$ est un entier relatif impair alors il existe un entier relatif $k$ tel que $n=2k+1$
    Si $n$ impair alors $n=2k-1$
    Si $n$ est impair alors il existe un entier relatif $k$ tel que $n=2k-1$
    $n^2-1=(2k-1)^2-1=4k^2-4k+1-1=4k(k-1)$
    Or d'après la question 1 on a $k(k-1)$ pair
    donc il existe un entier relatif $k'$ tel que $k(k-1)=2k'$
    donc $n^2-1=4k(k-1)=4\times 2k'=8k'$

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