$15=1\times 15=3\times 5$
Les diviseurs de $15$ sont donc $1$, $-1$, $3$, $-3$, $5$, $-5$, $15$ et $-15$.

$(n-7)(n+6)+15=n^2-7n+6n-42+15=n^2-n-27$
donc pour tout entier relatif $n$ on a $n^2-n-27=(n-7)(n+6)+15$

$n-7$ diviseur de $n^2-n-27 \Longleftrightarrow$ il existe un entier relatif $k$ tel que $n^2-n-27=k(n-7)$
$n^2-n-27=k(n-7)\Longleftrightarrow (n-7)(n+6)+15=k(n-7)$
$\phantom{n^2-n-27=k(n-7)}\Longleftrightarrow 15=k(n-7)-(n-7)(n+6)$
$\phantom{n^2-n-27=k(n-7)}\Longleftrightarrow 15=(n-7)(k-(n+6))$
$\phantom{n^2-n-27=k(n-7)}\Longleftrightarrow 15=(n-7)(k-n-6)$
donc $n-7$ est un diviseur de $15$
On peut résumer ceci dans le tableau ci-dessous:

Les valeurs de $n$ possibles sont $-8$, $2$, $4$, $6$, $8$, $10$, $12$, $22$