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Déterminer le plus petit entier naturel $n$ qui possède les propriétés suivantes:
- son écriture décimalese termine par $6$
- Lorsque l'on efface $6$ et qu'on le place à gauche du nombre sans modifier les autres chiffres, on obtient un quadruple de $n$.
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- son écriture décimalese termine par $6$
- Lorsque l'on efface $6$ et qu'on le place à gauche du nombre sans modifier les autres chiffres, on obtient un quadruple de $n$.
On peut écrire $n $ sous la forme $10p+6$ avec $p$ entier naturel et on peut noter $k$ le nombre de chiffres de $n$.
si on place $6$ à gauche du nombre on a alors $6\times 10^k$...
si on place $6$ à gauche du nombre on a alors $6\times 10^k$...
Le chiffre des unités de $n$ est $6$ et donc il existe un entier naturel $p$ tel que $n=10p+6$
Si on note $k$ le nombre de chiffres don place le $6$ à gauche du nombre, on a alors l'entier $6\times 10^k+p$
et comme ce nombre est un quadruple de $n$ on a $6\times 10^k+p=4(10p+6)$
$6\times 10^k+p=4(10p+6)\Longleftrightarrow 6\times 10^k+p=40p+24\Longleftrightarrow 6\times 10^k=39p+24$
donc $p=\dfrac{6\times 10^k-24}{39}$ et $p$ entier naturel donc $39$ est un diviseur de $6\times 10^k-24$
Si on note $k$ le nombre de chiffres don place le $6$ à gauche du nombre, on a alors l'entier $6\times 10^k+p$
et comme ce nombre est un quadruple de $n$ on a $6\times 10^k+p=4(10p+6)$
$6\times 10^k+p=4(10p+6)\Longleftrightarrow 6\times 10^k+p=40p+24\Longleftrightarrow 6\times 10^k=39p+24$
donc $p=\dfrac{6\times 10^k-24}{39}$ et $p$ entier naturel donc $39$ est un diviseur de $6\times 10^k-24$
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