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L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

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On pose $a_n=n^5-n$ avec $n\in \mathbb{N}$.
  1. Montrer que $a_n$ est pair.

    Entiers pairs et impairs


    Si $n$ est un entier relatif pair alors il existe un entier relatif $k$ tel que $n=2k$
    Si $n$ est un entier relatif impair alors il existe un entier relatif $k$ tel que $n=2k+1$
    On peut poser$n=2k$ si $n$ pair et $n=2k+1$ si nimpair.
    Cas 1: $n$ pair
    On peut poser $n=2k$ avec $k$ entier naturel.
    On a alors:
    $n^5-n=n(n^4-1)=2k(n^4-1)=2K$ avec$K=k(n^4-1$ entier relatif
    donc $a_n$ est pair.
    -Cas $n$ impair
    On peut poser $n=2k+1$ avec $k$ entier naturel.
    $a_n=n(n^4-1)$
    $~~~~=n((2k+1)^4-1)$ avec $(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$
    $~~~~=n(16k^4+4\times 8k^3+6\times 4k^2+4\times 2k+1-1)$
    $~~~~=n(16k^4+32k^3+24k^2+8k)$
    $~~~~=2n(8k^4+16k^3+12k^2+4k)$
    $~~~~=2K'$ avec $K=n(8k^4+16k^3+12k^2+4k)$ entier relatif
    donc $a_n$ est pair.
  2. Montrer que $a_n$ est divisible par $3$.
    On peut poser $n\equiv p$ ($3$) avec $0\leq p \leq 2$
    Avec les congruences:
    Supposons $n\equiv p$ $(3)$ avec $0\leq p\leq 2$
    On a alors:
    $n^5\equiv p^5$ $(3)$
    et $-n\equiv -p$ $(3)$
    Par somme $a_n=n^5-n\equiv p^5-p$ $(3)$

    donc $n^5-n\equiv p^5-p\equiv 0$ $(3)$
    donc le reste de la division euclidienne de $a_n$ par $3$ est $0$
  3. En utilisant les congruences modulo $5$, montrer que $a_n$ est un multiple de $5$.

    Addition, multiplication et exposant


    $n$ est un entier naturel superieur ou égal à 2 et $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre entiers relatifs tels que $a\equiv b$ $(n)$ et $c\equiv d$ $(n)$
    - addition: $a+c\equiv c+d$ $(n)$
    - multiplication $ac\equiv bd$ $(n)$
    - exposant: $a^k \equiv b^k$ $(n)$
    On peut utiliser les restes de la division euclidienne de $n$ par $5$
    Supposons $n\equiv p$ $(5)$ avec $0\leq p\leq 4$
    On a alors:
    $n^5\equiv p^5$ $(5)$
    et $-n\equiv -p$ $(5)$
    Par somme $a_n=n^5-n\equiv p^5-p$ $(5)$

    $n^5-n\equiv p^5-p$ $(5)$ et $p^5-p\equiv 0$ $(5)$
    donc $n^5-n\equiv 0$ $(5)$
    donc le reste de la division euclidienne de $a_n$ par $5$ est $0$

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