On a $11\equiv 1$ $(5)$ car $11-1=10$ est divisible par $5$ donc $11-1\equiv 0$ $(5)$
Remarque
On peut aussi chercher le reste de la division euclidienne de $11$ par $5$
$-7\equiv -2$ $(5)$car $-7-(-2)=-5$ est divisible par $5$
On a donc $11\equiv 1$ $(5)$ et $x^2\equiv x^2$ $(5)$
donc par produit $11x^2\equiv 1x^2$ $(5)$ soit $11x^2\equiv x^2$ $(5)$
De même $-7\equiv -2$ $(5)$ et $y^2\equiv y^2$ $(5)$
donc par produit $-7y^2\equiv -2y^2$ $(5)$
On a $11x^2\equiv x^2$ $(5)$ et $-7y^2\equiv -2y^2$ $(5)$
donc par somme $11x^2-7y^2\equiv x^2-2y^2$ $(5)$
On a $11x^2-7y^2=5$ (équation $(E)$ donc $11x^2-7y^2\equiv 0$ $(5)$
$11x^2-7y^2\equiv 0$ $(5)$ et $11x^2-7y^2\equiv x^2-2y^2$ $(5)$
donc $x^2-2y^2\equiv 0$ $(5)$
donc $x^2\equiv 2y^2$ $(5)$

On a $x^2\equiv 2y^2$ $(5)$
En utilisant le tableau on a comme seules congruences égales $x^2\equiv 0$ $(5)$ et $2y^2\equiv 0$ $(5)$
et alors $x^2\equiv 2y^2$ $(5)$
$x^2\equiv 0$ $(5)$ pour $x\equiv 0$ $(5)$ (voir tableau)
et $2y^2\equiv 0$ $(5)$ pour $y\equiv 0$ $(5)$ (voir tableau)
donc $x$ et $y$ sont des multiples de $5$.

$x$ et $y$ sont des multiples de $5$ donc il existe deux entiers $k$ et $k'$ tels que $x=5k$ et $y=5k'$
on a alors:
$11x^2-7y^2=11\times (5k)^2-7\times (5k')^2$
$\phantom{11x^2-7y^2}=11\times 25k^2-7\times 25k'^2$
$\phantom{11x^2-7y^2}=25(11k^2-7\times k'^2)$
avec $K=11k^2-7\times k'^2$ entier donc $25K\neq 5$
donc $(E)$ n'admet pas de couple d'entiers solution de $(E)$