Pour montrer que $\dfrac{n}{2n+1}$ est irréductible, il faut vérifier que $a=n$ et $b=2n+1$ sont premiers entre eux (c'est à dire PGCD$(n,2n+1)=1$)
$-2a+b=-2n+2n+1=1$
Il existe $u=-2$ et $b=1$ tels que $au+bv=1$
donc d'après le théorème de Bezout, on a PGCD$(n,2n+1)=1$
donc $\dfrac{n}{2n+1}$ est irréductible pour tout entier naturel $n$.
Remarque
$n$ entier naturel donc $2n+1>n$
$2n+1= 2\times n+1$ donc $d=n$ et $r=1$
$n=n\times 1+0$ donc $r=0$
donc le dernier reste non nul est $1$ donc PGCD$(n,2n+1)=1$

Pour montrer que $\dfrac{2n+1}{n(n+1)}$ est irréductible, il faut vérifier que $a=2n+1$ et $b=n(n+1)$ sont premiers entre eux (c'est à dire PGCD$(2n+1,n(n+1))=1$)
$n(n+1)=n^2+n$
$(2n+1)a=(2n+1)^2=4n^2+4n+1$
et $4b=4(n^2+n)=4n^2+4n$
$(2n+1)a-4b=4n^2+4n+1-4n^2-4n=1$
Il existe donc deux entiers $u=2n+1$ et $v=-4$ tels que $au+bv=1$
donc d'après le théorème de Bezout, on a PGCD$(2n+1,n(n+1))=1$
donc $\dfrac{n}{2n+1}$ est irréductible pour tout entier naturel $n$.