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L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

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Il est indispensable de maîtriser parfaitement les notions de base et leur application directe pour pourvoir ensuite les utiliser dans la résolution de problèmes plus complexes.

Plus d'infos
  1. spécialité maths terminale
  2. chapitre 14 PGCD -théorème de BEZOUT et GAUSS
  3. exercice corrigé nº1587

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On considère l'équation $E$: $8x+12y=24$
  1. Déterminer PGCD$(8,12)$

    Aide

    On peut effctuer les divisions euclidiennes successives de l'algorithme d'Euclide

    Solution

    $12=8\times 1+4$ donc $d=8$ et $r=4$
    $8=4\times 2+0$
    Le dernier reste non nul est $4$
  2. En déduire que l'équation $E$ admet au moins une solution

    Rappel de cours

    corollaire du théorème de Bezout

    L'équation $ax+by=c$ admet des solutions entières si et seulement si $c$ est un multiple de PGCD$(a,b)$

    Solution

    PGCD$(8,12)=4$ et $4$ divise $24$
  3. Déterminer un couple d'entiers $x$ et $y$ solution de $E$

    Rappel de cours

    Théorème de Gauss

    Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers relatifs non nuls.
    Si $a$ divise $bc$ et PGCD$(a,b)=1$ alors $a$ divise $c$.

    Aide

    On peut diviser les coefficients par PGCD$(8,12)$

    Solution

    $8x+12y=24\Longleftrightarrow 2x+3y=6$
    $2\times (-3)+4\times 3=-6+12=6$
  4. En déduire toutes les solutions de $E$

    Rappel de cours

    Méthode résolution équation Diophantienne

    - Chercher le PGCD$(a,b)=d$ et vérifier que $d$ divise $c$
    - diviser tous les coefficients de l'équation par $d$
    - On doit alors résoudre $a'x+b'y=c'$ (équation $E'$) avec $a'$ et $b'$ premiers entre eux
    - Déterminer une solution particulière de l'équation $E'$ notée $(x_0;y_0)$
    - On a alors:
    $a'x+b'y=a'x_0+b'y_0\Longleftrightarrow a'(x-x_0)=-b'(y-y_0)$
    avec $a'$ et $b'$ premiers entre eux. donc $a'$ divise $y-y_0$ d'après le théorème de Gauss
    et donc $y=a'k+y_0$ avec $k\in \mathbb{Z}$
    et on remplace $y$ par $a'k+y_0$ dans $E'$

    Aide

    On a $2x+3y=-2\times 3+4\times 3$

    Solution

    $2x+3y=-2\times 3+4\times 3=6$
    $2x+3y=-2\times 3+4\times 3 \Longleftrightarrow 2x+2\times 3=-3y+4\times 3$
    $\phantom{2x+3y=-2\times 3+4\times 3} \Longleftrightarrow 2(x+ 3)=3(-y+4)$
    PGCD$(2,3)=1$ donc $2$ et $3$ sont premiers entre eux et $2$ divise $3(-y+4)$
    et d'après le théorème de Gauss, $2$ divise $-y+4$
    donc $-y+4=2k$ avec $k\in \mathbb{Z}$
    soit $y=-2k+4$
    $2x+3(-2k+4)=6 \Longleftrightarrow 2x-6k+12=6$
    $\phantom{2x+3(-2k+4)=6} \Longleftrightarrow 2x=6k-6$
    $\phantom{2x+3(-2k+4)=6} \Longleftrightarrow x=3k-3$

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