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On considère l'équation $E$: $15x+8y=5$
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- Déterminer un couple d'entiers $x$ et $y$ solution de $E$
$15\times 3+8\times (-5)=45-40=5$
- En déduire toutes les solutions de $E$
Méthode résolution équation Diophantienne
- Chercher le PGCD$(a,b)=d$ et vérifier que $d$ divise $c$
- diviser tous les coefficients de l'équation par $d$
- On doit alors résoudre $a'x+b'y=c'$ (équation $E'$) avec $a'$ et $b'$ premiers entre eux
- Déterminer une solution particulière de l'équation $E'$ notée $(x_0;y_0)$
- On a alors:
$a'x+b'y=a'x_0+b'y_0\Longleftrightarrow a'(x-x_0)=-b'(y-y_0)$
avec $a'$ et $b'$ premiers entre eux. donc $a'$ divise $y-y_0$ d'après le théorème de Gauss
et donc $y=a'k+y_0$ avec $k\in \mathbb{Z}$
et on remplace $y$ par $a'k+y_0$ dans $E'$On a $15x+8y=15\times 3+8\times (-5)=5$PGCD$(15,8)=1$ et $1$ divise $5$
donc d'après le théorème du corollaire de Bezout, l'équation admet une solution.
$15x+8y=15\times 3+8\times (-5)=5$
$15x+8y=15\times 3+8\times (-5) \Longleftrightarrow 15x-15\times 3=-8y+8\times (-5)$
$\phantom{15x+8y=15\times 3+8\times (-5)} \Longleftrightarrow 15(x-3)=8(-y-5)$
PGCD$(15,8)=1$ donc $15$ et $8$ sont premiers entre eux et $15$ divise $8(-y-5)$
et d'après le théorème de Gauss, $15$ divise $-y-5$
donc $-y-5=15k$ avec $k\in \mathbb{Z}$
soit $y=-15k-5$
$15x+8(-15k-5)=5 \Longleftrightarrow 15x-120k-40=5$
$\phantom{15x+8(-15k-5)=5} \Longleftrightarrow 15x=120k+45$
$\phantom{15x+8(-15k+5)=5} \Longleftrightarrow x=8k+3$
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