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  1. Soit $x$ un entier relatif.
    Montrer que si $x \equiv 0$ $(2)$ , $x \equiv 0 $ $(3)$ et $x \equiv 0$ $(13)$ alors $x \equiv 0 (78)$

    corollaire du théorème de Gauss


    Si $b$ et $c$ divisent $a$ et PGCD$(b,c)=1$ alors $bc$ divise $a$
    On peut d'abord appliquer le corollaire pour $2$ divise $x$ et $3$ divise $x$ puis pour $6$et $13$
    $x \equiv 0$ $(2)$ donc $2$ divise $x$
    $x \equiv 0 $ $(3)$ donc $3$ divise $x$.
    $2$ et $3$ divisent $x$ et $2$ et $3$ sont premiers entre eux
    donc d'après le corollaire du théorème de Gauss on a $2\times 3=6$ divise $x$.
    $x \equiv 0 $ $(13)$ donc $13$ divise $x$.
    $6$ et $13$ divisent $x$ et $6$ et $13$ sont premiers entre eux
  2. Soit l'équation $(E)$ : $19x + 3y =2021$
    1. Justifier que $(E)$ admet des solutions entières

      Théorème de Bezout


      Les entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si il existe un couple d'entiers relatifs $(u;v)$ tel que $au+bv=1$
      PGCD$(19,3)=1$ et $1$ divise $2021$
    2. Déterminer une solution de $(E')$: $19x + 3y =1$
      6\times 3=18$...
      $19\times 1+3\times (-6)=19-18=1$
    3. En déduire une solution particulière de $(E)$
      On peut multiplier les deux membres de $(E')$ par $2021$
      $19\times 1+3\times (-6)=1\Longleftrightarrow 19\times (1\times 20121)+19\times (-6\times 2021)=2021$
    4. En déduire l'ensemble des solutions de (E)

      Théorème de Gauss


      Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers relatifs non nuls.
      Si $a$ divise $bc$ et PGCD$(a,b)=1$ alors $a$ divise $c$.

      Méthode résolution équation Diophantienne


      - Chercher le PGCD$(a,b)=d$ et vérifier que $d$ divise $c$
      - diviser tous les coefficients de l'équation par $d$
      - On doit alors résoudre $a'x+b'y=c'$ (équation $E'$) avec $a'$ et $b'$ premiers entre eux
      - Déterminer une solution particulière de l'équation $E'$ notée $(x_0;y_0)$
      - On a alors:
      $a'x+b'y=a'x_0+b'y_0\Longleftrightarrow a'(x-x_0)=-b'(y-y_0)$
      avec $a'$ et $b'$ premiers entre eux. donc $a'$ divise $y-y_0$ d'après le théorème de Gauss
      et donc $y=a'k+y_0$ avec $k\in \mathbb{Z}$
      et on remplace $y$ par $a'k+y_0$ dans $E'$
      $19x+3y= 19\times 2021+3\times (-12126)\Longleftrightarrow 19x-19\times 2021=-3y+3\times (-12126)$
      $\phantom{19x+3y= 19\times 2021+3\times (-12126)}\Longleftrightarrow 19(x-2021)=3(-y-12126)$
      donc $19$ divise $3(-y-12126)$ et $19$ et $3$ premiers entre eux
      donc d'après le théorème de Gauss, $19$ divise $-y-12126$
      donc $-y-12126=19k$ avec $k\in \mathbb{Z}$
      donc $y=-19k-12126$
      $19x+3y=2021\Longleftrightarrow 19x+3(-19k-12126)=2021$
      $\phantom{19x+3y=2021}\Longleftrightarrow 19x-3\times 19k-36378=2021$
      $\phantom{19x+3y=2021}\Longleftrightarrow 19x=3\times 19k+38399$
      $\phantom{19x+3y=2021}\Longleftrightarrow x= 3k+2021$
  3. Montrer que pour tout $n$ entier relatif la fraction $\dfrac{21n+4}{14n+3}$ est irréductible

    Théorème de Bezout


    Les entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si il existe un couple d'entiers relatifs $(u;v)$ tel que $au+bv=1$
    Il faut trouver une combinaison linéaire de $a=21n+4$ et $b=14n+3$ permettant d'éliminer $n$
    Méthode 1
    PGCD$(21,14)=7$ et $21=7\times 3$ et $14=7\times 2$
    donc $2\times 21=3\times 14=42$
    $2(21n+4)-3(14n+3)=42n+8-42n-9=-1$
    donc $-2(21n+4)+3(14n+3)=1$
    donc d'après le théorème de Bezout, $21n+4$ et $14n+3$ sont premiers entre eux
    donc PGCD$(21n+4,14n+3)=1$

    Méthode 2:
    $14(21n+4)-21(14n+3)=294n+56-294n-63=-7$
    PGCD$(21,14)=7$ donc on peut diviser les deux membres par $7$ soit:
    $14(21n+4)-21(14n+3)=-7\Longleftrightarrow 2(21n+4)-3(14n+3)=-1 \Longleftrightarrow -2(21n+4)+3(14n+3)=1$
    donc d'après le théorème de Bezout, $21n+4$ et $14n+3$ sont premiers entre eux
    donc PGCD$(21n+4,14n+3)=1$
  4. Montrer que $39$ et $50$ sont premiers entre eux à l'aide de l'algorithme d'Euclide puis déterminer un couple d'entiers relatifs $(u;v)$ tels que $39u + 50v =1$

    Algorithme d'Euclide


    Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls tels que $a Le dernier reste non nul des divisions euclidiennes du diviseur par le reste de la division précédente, la première étant la division euclidienne de $a$ par $b$ est le PGCD de $a$ et de $b$.
    $L_1$: $50=39\times 1+11$ donc $d=39$ et $r=11$
    $L_2$: $39=11\times 3+6$ donc $d=11$ et $r=6$
    $L_3$: $11=6\times 1+5$ donc $d=6$ et $r=5$
    $L_4$: $6=5\times 1+1$ donc $d=5$ et $r=1$
    $5=5\times 1+0$ donc $d=1$ et $r=0$

    avec $L_4$:
    $1=6-5\times 1$ et $5=11-6\times 1$ ($L_3$)
    $~~=6-(11-6\times 1)$
    $~~=6-11+6\times 1$
    $~~=6\times 2-11$ et $6=39-11\times 3$ ($L_2$)
    $~~=39\times 2-11\times 6-11$
    $~~=39\times 2-11\times 7$ et $11=50-39\times 1$ ($L_1$)
    $~~=39\times 2-(50-39\times 1)\times 7$
    $~~=39\times 2-50\times 7+39\times 7$
    $~~=39\times 9-50\times 7$

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