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La fonction $f$ est définie par $f(x)=(x^2-1)e^{-x}$.
On note $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
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On note $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
- Donner l'ensemble de définition de $f$.
Ensemble de définition
L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble des valeurs pour lesquelles on peut calculer l'image par $f$.
Par exemple, l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$ est $\mathbb{R}\setminus \lbrace -2\rbrace$ car le dénominateur doit être différent de $0$.Fonction exponentielle
Il existe une unique fonction notée $exp$ définie et dérivable sur $\R$ telle que $exp'(x)=exp(x)$ et $exp(0)=1$.
Le nombre $e$ est limage de 1 par la fonction $exp$ soit $exp(1)=e$
Notation $e^x$: $exp(x)$ se note aussi $e^x$.La fonction $exp$ est définie sur $\mathbb{R}$
- Calculer la dérivée de $f$.
Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$Formules de dérivation (produit, quotient...)
1-xx^2+1$ et $v(x)=e^{-x}$On pose $u(x)=x^2-1$ et $v(x)=e^{-x}$
$u$ et $v$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$
donc $f=u\times v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
$u'(x)=2x$ et $v'(x)=-e^{-x}$
$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
$~~~~~~~=2xe^{-x}+(x^2-1)\times (-e^{-x})$
$~~~~~~~=2xe^{-x}-x^2e^{-x}+e^{-x}$
$~~~~~~~=e^{-x}(-x^2+2x+1)$
- En déduire le tableau de variation de $f$.
Signe de la dérivée et variations d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$Signe de exp(x)
Pour tout réel $x$ on a $e^x>0$$e^{-3x}>0$ donc $f'(x)$ est du même signe que $-3x^2+2x+3$$e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du même signe que $-x^2+2x+1$
$\Delta=b^2-4ac=2^2-4\times (-1)\times 1=4+4=8$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines
$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2 +\sqrt{8} }{ -2 }=\dfrac{-2+2\sqrt{2}}{-2}=1-\sqrt{2}$ (en simplifiant par $-2$)
et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2 -\sqrt{8} }{ -2 }=\dfrac{-2-2\sqrt{2}}{-2}=1+\sqrt{2}$
On a $x_1\approx -0,4$ et $x_2\approx 2,4$
Avec la calculatrice $f(x_1)\approx -1,2$ et $f(x_2)\approx 0,4$ - Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point $A$ d'abscisse $0$.
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}Il faut calculer $f(0)$ et $f'(0)$$f(0)=(0^2-1)e^{0}=-1$ (rappel $e^0=1$)
$f'(0)=e^{0}(-0^2+2\times 0+1)=1$
$T$: $y=f'(0)(x-0)+f(0)=x-1$
- Tracer $C_f$ et $T$ (unités 2cm pour l'axe des abscisses et 1cm sur l'axe des ordonnées)
Placer le minimum de $f$ et utiliser le MENU TABLE de la calculatrice pour placer suffisamment de points.
- Déterminer (par le calcul) les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Calculs de dérivées avec exponentielle
- rappels de cours
- dérivées avec $exp(x)$
- dérivées avec $exp(kx)$
infos: | mn |
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