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La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(x^2-2,5x+1)e^x$.
On note $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
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On note $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
- Calculer la dérivée de $f$ et dresser son tableau de variation.
Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$Formules de dérivation (produit, quotient...)
On pose $u(x)=x^2-2,5x+1$ et $v(x)=e^x$On pose $u(x)=x^2-2,5x+1$ et $v(x)=e^x$
et on a $u'(x)=2x-2,5$ et $v'(x)=e^x$
$f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
$~~~~~~=(2x-2,5)e^x+(x^2-2,5x+1)e^x$
$~~~~~~=e^x(2x-2,5+x^2-2,5x+1)$
$~~~~~~=e^x(x^2-0,5x-1,5)$
$\Delta=b^2-4ac=(-0,5)^2-4\times 1\times (-1,5)=6,25$ et $\sqrt{\Delta}=2,5$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines
$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{0,5 +2,5 }{ 2 }=1,5$
et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{0,5 -2,5 }{2 }=-1$
$f(-1)=((-1)^2-2,5\times (-1)+1)e^{-1}\approx 1,6$
$f(1,5)=((1,5)^2-2,5\times 1,5+1)e^{1,5}\approx -2,2$ - On donne ci-dessous la représentations graphique $C_f$ de $f$.
Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ et déterminer leur valeur exacte par le calcul.On a$e^x>0$ donc il faut résoudre $x^2-2,5x+1=0$Graphiquement, la courbe coupe l'axe des abscisses en deux points
$f(x)=0\Longleftrightarrow (x^2-2,5x+1)e^x=0$
$\phantom{f(x)=0} \Longleftrightarrow x^2-2,5x+1=0$ car $e^x>0$
$\Delta=b^2-4ac=(-2,5)^2-4\times 1\times 1=2,25$ et $\sqrt{\Delta}=1,5$
$\Delta>0$ donc il y a deux solutions
$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ 2,5+ 1,5 }{ 2 }=2$
et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2,5 -1,5 }{2 }=0,5$
- En déduire le tableau de signes de $f(x)$ en utilisant le graphique.
$f(x)>0$ lorsque la courbe $C_f$ est au-dessus de l'axe des abscisses.
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Fiche méthode
Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.
Calculs de dérivées avec exponentielle
- rappels de cours
- dérivées avec $exp(x)$
- dérivées avec $exp(kx)$
infos: | mn |
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