Un transporteur, s'occupant de voyages organisés, achète en l'an 2000 (instant initial $x = 0$), un autocar nécessitant un investissement initial de $200$ milliers d'euros.
Partie A
Cet investissement se déprécie (perd de sa valeur). Sa dépréciation cumulée, en milliers d'euros, a l'instant $x$, mesuré en années, est notée $D(x)$. On pose $D(x)= 200\left(1 - e^{-0,086x}\right)$ pour tout réel $ x$ de l'intervalle I = [0 ; 13].
On donne ci-dessous la courbe représentative de $D$ dans le plan rapporté à un repère orthogonal.

Déterminer graphiquement au cours de quelle année l'investissement aura perdu 60% de sa valeur (faire apparaître sur le graphique les tracés qui permettent d'obtenir la réponse).
Partie B
Le transporteur veut revendre l'autocar. On note $V(x)$ la valeur de l'autocar l'année $x$, $ 0 \leqslant x \leqslant 13$.

1. Vérifier que $V(x) = 200 \times e^{-0,086x}$.

   Aide

   La valeur de revente est la valeur initiale moins la perte de valeur

   Solution

   La valeur de revente de l'autocar est la valeur de départ soit 200 milliers d'euros moins la dépréciation (perte de valeur) $D(x)$
   Soit $V(x)=200-200\left(1 - e^{-0,086x}\right)= 200\times e^{-0,086x}$
   $V(x)= 200\times e^{-0,086x}$
2. Étudier le sens de variation de $V$ sur $[0 ; 13]$.

   Rappel de cours

   Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$

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   La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
   
   La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$

   Aide

   Il faut calculer $V'(x)$
   $e^{-0,086x}>0$ pour tout réel $x$

   Solution

   Pour dériver $V$, on calcule la dérivée de $e^{-0,086x}$
   $V'(x)=200\times (-0,086)e^{-0,086x}=-17,2e^{-0,086x}$
   Pour tout réel $x$, $e^{-0,086x}>0$
   donc $V'(x)<0$
   donc $V$ est strictement décroissante sur $[0;13]$
3. Combien peut-on espérer revendre l'autocar au bout de $13$ ans de service ? (au millier d'euros près).

   Aide

   Il faut calculer $V(13)$

   Solution

   Il faut calculer $V(13)= 200\times e^{-0,086\times 13}\simeq 65 $ milliers d'euros arrondi au milliers d'euros près.
   Il peut espérer revendre l'autocar 65 milliers d'euros à mille euros près.
4. Graphiquement, déterminer cours de quelle année l'autocar a-t-il perdu la moitié de sa valeur et contrôler avec la calculatrice ?

   Aide

   On veut que la valeur de revente soit inférieure ou égale à 100

   Solution

   Il faut résoudre graphiquement $V(x)=100$
   
   donc l'équation $V(x)=100$ admet une solution unique $\alpha$ comprise dans l'intervalle $[8;9]$.
   Le prix de revente sera de la moitié de la valeur initiale pendant l'année $2000+8 = 2008 $
   $V(8)= 200\times e^{-0,086\times 8}\approx 100,5$
   $V(9)= 200\times e^{-0,086\times 9}\approx 92,2$
   donc $V(8)>100$ et $V(9)<100$