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La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=a+(x+b)e^{-x}$ avec $a$ et $b$ coefficients réels.
On donne ci-dessous la représentation graphique $C_f$ de la fonction $f$.
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- Exprimer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$Formules de dérivation (produit, quotient...)
On pose $u(x)=x+b$ et $v(x)=e^{-x}$ et on a $f(x)=au(x)v(x)$On a $f(x)=a+(x+b)e^{-x}$
On pose $u(x)=x+b$ et $v(x)=e^{-x}$
$u'(x)=1$ et $v'(x)=-e^{-x}$
$f'(x)=0+u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
$\phantom{f'(x)}=e^{-x}+(x+b)\left(-e^{-x}\right)$
$\phantom{f'(x)}=e^{-x}\left[1-(x+b)\right]$
$\phantom{f'(x)}=e^{-x}\left[-x-b+1\right]$
- Déterminer graphiquement $f'(0)$ et $f(0)$.
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}Il faut utiliser le coefficient directeur de $T$$T$ est la tangente à la courbe au point $A$
Graphiquement, $f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ au point $A$ d'abscisse 0
$C_f$ coupe l'axe des ordonnées en $A(0;1)$ donc $f(0)=1$ - En déduire la valeur de $a$ et $b$.
On peut écrire des équations en utilisant les résultats des lectures graphiquesOn a $f(x)=a+(x+b)e^{-x}$ et $f'(x)=(-x-b+1)e^{-x}$
$f(0)=a+(0+b)e^{-0}=a+b$
$f'(0)=(-0-b+1)e^{-0}=-b+1$
$\begin{cases} f(0)=1\\ f'(0)=4 \end{cases}\Longleftrightarrow \begin{cases} a+b=1\\ -b+1=4 \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} f(0)=1\\ f'(0)=4 \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a+b=1\\ -b=3 \end{cases}$
$\phantom{\begin{cases} f(0)=1\\ f'(0)=4 \end{cases}}\Longleftrightarrow \begin{cases} a=4\\ b=-3 \end{cases}$
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