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On donne la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\lbrace 3 \rbrace$ par $f(x)=\dfrac{x-1}{x+3}$ et la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=-x-5$.
On note respectivement $C_f$ et $C_g$ les représentations graphiques de $f$ et $g$ dans un repère orthogonal
  1. En utilisant la calculatrice ou GEOGEBRA, conjecturer la position relative de $C_:f$ et $C_g$.
    La position relative de $C_F$ et $C_g$ consiste à déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles la courbe $C_f$ est au-dessus de $C_g$ par exemple
    Avec la calculatrice MENU GRAPH (CASIO) puis saisir $Y1=\dfrac{x-1}{x+3}$ et $Y2=-x-5$ puis tracer les deux courbes.
    Si nécessaire, ajuster la fenêtre en utilisant la touche VWINDOW pour régler les valeurs max et min des abscisses et des ordonnées.
    \includegraphics[scale=0.8]{fig1}
    $C_f$ semble se situer au-dessus de $C_g$ (en rouge) pour $x\in ]-7;-3[\cup ]-2;+\infty[$ (en vert)
  2. Prouver que cette conjecture est correcte par le calcul.

    Racines


    Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
    c'est à dire telles que $P(x)=0$.
    $\Delta=b^2-4ac$
    Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
    Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
    Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
    Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.

    Signe de $ax^2+bx+c$


    - Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

    - Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

    - Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
    Il faut résoudre l'inéquation $f(x)>g(x)$
    Pour tout réel $x \neq -3$, on a:
    $f(x)>g(x)\Longleftrightarrow \dfrac{x-1}{x+3}>-x-5$
    $\phantom{f(x)>g(x)}\Longleftrightarrow \dfrac{x-1}{x+3}+x+5>0$
    $\phantom{f(x)>g(x)}\Longleftrightarrow \dfrac{x-1}{x+3}+\dfrac{(x+5)(x+3)}{x+3}>0$
    $\phantom{f(x)>g(x)}\Longleftrightarrow \dfrac{x-1+x^2+5x+3x+15}{x+3}>0$
    $\phantom{f(x)>g(x)}\Longleftrightarrow \dfrac{x^2+9x+14}{x+3}>0$
    Racines de $x^2+9x+14$
    $\Delta=b^2-4ac=9^2-4\times 1\times 14=25$
    $\Delta>0$ donc il y a deux racines
    $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-9 -5 }{2}=-7$
    et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{ -9+5 }{2}=-2$
    D'autre part $x+3=0\Longleftrightarrow x=-3$

    donc $f(x)>g(x)$ soit $\dfrac{x^2+9x+14}{x+3}>0$ (zone bleue du tableau) pour $x\in ]-7;-3[\cup ]-2;+\infty[$

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