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La fonction $f$ est définie et dérivable sur $[0;4]$ et on donne ci-dessous sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
La droite $T$ est la tangente à la courbe au point $A$ d'abscisse $2$.
Partie A: lectures graphiques
La fonction $f$ est définie par $f(x)=3x^3-16x^2+23x-8$ sur $[0;4]$.
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La droite $T$ est la tangente à la courbe au point $A$ d'abscisse $2$.
Partie A: lectures graphiques
- Déterminer $f(1)$.
- Pour quelle(s) valeur(s) de $x$ a-t-on $f'(x)=0$?
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe est $0$ donc la tangente est parallèle à l'axe des abscisses aux points de la courbe correspondants à un maximum ou un minimum relatif.La dérivée s'annule et change de signe pour les valeurs de $x$ pour lesquelles $f$ admet un maximum ou un minimum(relatif)
et donc aux points de la courbe pour lesquels la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.
- Déterminer graphiquement $f'(2)$.
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}Équation réduite
Toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées admet une équation (appelée équation réduite) de la forme $y=ax+b$ où $a$ et $b$ sont des réels.$a$ est le coefficient directeur (ou pente) de la droite et $b$ l'ordonnée à l'origine(ordonnée du point d'intersection avec l'axe des ordonnées).
L'accroissement $\Delta_y$ des ordonnées est proportionnel à l'accroissement $\Delta_x$ des abscisses.
$f'(2)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 2.$f'(2)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 2
- A l'aide du graphique, dresser le tableau de variation de $f$.
Tableau de variation:
avec $x_2\approx 2,6$ et $f(x_2)\approx -3,6$
On ne place pas de valeurs approchée dans le tableau de variation - Quelle semble être la valeur du minimum de $f$ sur l'intervalle $[1;4]$?
La fonction $f$ est définie par $f(x)=3x^3-16x^2+23x-8$ sur $[0;4]$.
- Calculer $f'(x)$.
Dérivées usuelles
Signe de la dérivée et variations d'une fonction
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $I$:
$f$ est croissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\geq 0$
$f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si $f'(x)\leq 0$Il faut étudier le signe de $f'(x)$ en calculant le discriminant de $f'(x)$ (second degré)$f'(x)=3\times 3x^2-16\times 2x+23\times 1-0=9x^2-32x+23$
Penser à contrôler avec la calculatrice
Avec CASIO GRAPH35 par exemple, saisir Y1=$f(x)$ et Y2=$f'(x)$ et vérifier que DERIVATIVE est bien sur On (shift MENU pour SETUP)
et on doit avoir Y'1=Y2 - Dresser le tableau de variation de $f$ et retrouver la valeur exacte du minimum dur $[1;4]$.
Racines
Les racines de $p(x)=ax^2+bx+c$ avec$a\neq 0$ sont les valeurs de $x$ annulant $P$
c'est à dire telles que $P(x)=0$.
$\Delta=b^2-4ac$
Si $\Delta>0$ donc il y a deux racine $x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta=0$ il y a une racine (double) $x_1=\dfrac{-b}{2a}$
Si $\Delta<0$ il n'y a aucune racine
Remarque: Graphiquement, les racines sont les abscisses des points d'intersection de la parabole et de l'axe des abscisses.Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
Il faut chercher les racines de $f'(x)$ polynôme de degré 2.On remarque que $9-32+23=0$
donc $x_1=1$ est une racine de $f'(x)$
$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$ donc $1x_2=\dfrac{23}{9}$ soit $x_2=\dfrac{23}{9}$
En calculant le discriminant on a:
$\Delta=b^2-4ac=(-32)^2-4\times 9\times 23=196$
$\Delta>0$ donc il y a deux racines
$x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{32 +14 }{18 }=\dfrac{46}{18}=\dfrac{23}{9}$
et $x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{32 - 14 }{18 }=1$
avec $f\left(\dfrac{23}{9}\right)\approx -3,6$
Le minimum de $f$ est bien atteint en $x=\dfrac{23}{9}\approx 2,6$
$f\left(\dfrac{23}{9}\right)=3\left(\dfrac{23}{9}\right)^3-16\times \left(\dfrac{23}{9}\right)^2+23\times \dfrac{23}{9}-8$
$~~~~~~~~=\dfrac{36501}{729}-\dfrac{8464}{81}+\dfrac{529}{9}-8$
$~~~~~~~~=\dfrac{12167}{243}-\dfrac{25392}{243}+\dfrac{14283}{243}-\dfrac{1944}{243}$
$~~~~~~~~=\dfrac{12167-25392+14283-1944}{243}$
$~~~~~~~~=\dfrac{-886}{243}$
$~~~~~~~~\approx -3,64$
Le minimum de $f$ est $\dfrac{-886}{243}$ sur $[1;4]$
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