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On donne ci-dessous le tableau des variations de la fonction $f$.



  1. Déterminer l'ensemble de définition de $f$

    Ensemble de définition


    L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est l'ensemble des valeurs pour lesquelles on peut calculer l'image par $f$.
    Par exemple, l'ensemble de définition de la fonction $f$ définie par $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$ est $\mathbb{R}\setminus \lbrace -2\rbrace$ car le dénominateur doit être différent de $0$.
    Il faut déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles il existe une image.
    $x$ est compris entre $-5$ et 10

  2. Déterminer l'image de 3 par $f$.

    Image par une fonction


    $f$ est une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$ et $C_f$ sa représentation graphique.
    Pour tout réel $a$ de I, l'mage de $a$ par $f$ est $f(a)$.
    Pour déterminer par le calcul l'image de $a$ par $f$, il faut remplacer $x$ par la valeur de $a$ dans l'expression de $f$.
    Pour déterminer graphiquement l'image d'un réel $a$ par $f$, il faut déterminer l'ordonnée du point de la courbe $C_f$ d'abscisse $a$.
    A chaque réel $x$ de I, on ne peut associer qu'une seule image.
    Il faut déterminer l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 3...
    Dans le tableau de variation, pour $x=3$, on a un ordonnée égale à 1



    On peut noter $f(3)=1$
  3. Quels sont les extremums de $f$?

    Extremums d'une fonction: maximum et minimum


    $f$ est une fonction définie sur un intervalle I de $\mathbb{R}$.
    Le maximum de $f$ sur I, s'il existe est le réel $M$ tel que pour tout réel $x$ de I, on a $f(x)\leq M$
    Le minimum de $f$ sur I, s'il existe est le réel $m$ tel que pour tout réel $x$ de I, on a $f(x)\geq m$
    $f$ admet un extremum sur I si $f$ admet un maximum ou un minimum sur I.

    Le maximum ou le minimum se lit sur l'axe des ordonnées sur le graphique.
    Il faut déterminer le maximum et le minimum pour les valeurs prises par $f(x)$



  4. Donner un encadrement de $f(x)$.
    Il faut déterminer $m$ et $M$ tels que pour tout $x\in D_f$, on ait $m < f(x) < M$
    Le minimum de $f$ est $-5$ et le maximum est 10

  5. Comparer $f(7)$ et $f(8)$ puis $f(4)$ et $f(5)$.
    Il faut utiliser le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[6;10]$ puis sur $[3;6]$.
    $f$ est strictement décroissante sur $[6;10]$ donc sur l'intervalle $[7;8]$
    On a $7 < 8$ donc $f(7) > f(8)$ (l'ordre des images est inversé)


    $f$ est strictement croissante sur $[3;6]$ donc sur l'intervalle $[4;5]$
    On a $4 < 5$ donc $f(4) < f(5)$ (l'ordre des images est conservé)

  6. Quel est le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$?
    Il faut chercher le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0$ sur les intervalles $[-5;6]$ puis sur $[6;10]$
    Sur l'intervalle $[-5;6]$, le minimum de $f$ est 1 donc $f(x)\geq 1$
    et l'équation n'admet aucune solution sur $[-5;6]$.

    Sur $[6;10]$, $f$ est strictement décroissante et $f(x)$ varie de 8 Ã $-5$
    donc l'équation $f(x)=0$ admet une seule solution(la courbe coupe une fois l'axe des abscisses).

  7. On donne $f(8)=0$, en déduire le signe de $f(x)$.
    Il faut déterminer les intervalles pour lesqueles la courbe est en-dessous ou au-dessus de l'axe des abscisses
    On a le tableau de signes suivant:



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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Tableau de variation d'une fonction

- lien entre courbe et tableau de variation
- cas où il y a une valeur interdite
- tracer une représentation graphique avec les informations du tableau de variation


infos: | 15mn |

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