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$A$ et $B$ sont deux points du plan tels que $AB=4$ cm.
Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=12$.
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Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=12$.
- Méthode géométrique
$H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(AB)$, déterminer la distance $AH$.
En déduire l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=12$.Produit scalaire et projeté orthogonal
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points ($A$ et $B$ distincts) et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.
Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=0$ (soit $\widehat{BAC}$ aigu)
et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=\pi$ (soit $\widehat{BAC}$ obtus)On note $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(AB)$.
$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}>0$ donc le point $M$ appartient à $[AB)$.
$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=12$
$\Longleftrightarrow -AH\times AB=12$
$\Longleftrightarrow -AH\times 4=12$
$\Longleftrightarrow AH=\dfrac{12}{4}$
$\Longleftrightarrow AH=3$
donc le point $H$ de $(AB)$ tel que $H\in [AB)$ et $AH=3$
- Avec un repère:
Dans le repère orthonormé d'unité 1cm, d'origine $A$, d'axe des abscisses $(AB)$ et d'axe des ordonnée la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $A$, donner les coordonnées des points $A$ et $B$ puis des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AM}$ si on pose $M(x;y)$.
En déduire l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=12$.Coordonnées d'un vecteur
Si $\overrightarrow{u}(x;y)$ dans un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$ alors $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$
Sur la figure ci-dessus $\overrightarrow{u}(4;2)$Produit scalaire dans un repère orthonormé
Dans un repère orthonormé, si $\overrightarrow{u}(x;y)$ et $\overrightarrow{v}(x';y')$ on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$
On a alors $A(0;0)$ et $B(4;0)$ (voir figure)
$\overrightarrow{AB}(4;0)$ et $\overrightarrow{AM}(x;y)$ si on note $M(x;y)$.
$\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=12$
$\Longleftrightarrow 4\times x+0\times y=12$
$\Longleftrightarrow x=\dfrac{12}{4}$
$\Longleftrightarrow x=3$.
donc l'ensemble des points $M$ est la droite d'équation $x=3$ parallèle à l'axe des ordonnées
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