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Les suites ci-dessous sont définies par leur terme général.
Dans chaque cas:
1. conjecturer la limite de la suite
2. Montrer qu'il existe un rang $N$ tel que pour tout entier naturel $n\geq N$ on a $u_n> A$ avec $A$ réel strictement positif.
3. En déduire la limite de $(u_n)$.
  1. $u_{n}=n^2+2$

    Limite infinie


    Dire qu'une suite $(u_{n})$ a pour limite $+\infty$ signifie que tout intervalle $]A ; +\infty[$ (avec $A$ réel) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang $N$.
    On note $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = +\infty$
    Pour $n$ "très grand" que se passe-t-il pour $u_n$?
    On peut aussi calculer $u_n$ pour des valeurs très grande de $n$
    1. Conjecture
    Lorsque $n$ est infiniment grand, on a $n^2$ infiniment grand

    2. On veut $u_n >A$ soit $n^2+2>A$
    $n^2+2 >A \Longleftrightarrow n^2> A-2$
    On suppose $A >2$ et donc $A-2>0$ donc $n> \sqrt{A-2}$
    On choisit $N$ tel que $N$ soit le plus petit entier strictement supérieur à $\sqrt{A-2}$.

    3. Quelque soit le réel $A>2$, il existe un entier naturel $N$ tel que pour tout $n\geq N$ on a $u_n>A$
  2. $u_{n}=\dfrac{n-5}{3}$
    cours1

    Limite infinie


    Dire qu'une suite $(u_{n})$ a pour limite $+\infty$ signifie que tout intervalle $]A ; +\infty[$ (avec $A$ réel) contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang $N$.
    On note $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = +\infty$
aide1 Pour $n$ "très grand" que se passe-t-il pour $u_n$?
On peut aussi calculer $u_n$ pour des valeurs très grande de $n$

Solution

1. Conjecture
Lorsque $n$ est infiniment grand, on a $n-5$ infiniment grand

2. On veut $u_n >A$ soit $\dfrac{n-5}{3}>A$
$\dfrac{n-5}{3} >A \Longleftrightarrow n-5> 3A \Longleftrightarrow n> 3A+5$
donc $n> \sqrt{3A+5}$
On choisit $N$ tel que $N$ soit le plus petit entier strictement supérieur à $\sqrt{3A+5}$.

3. Quelque soit le réel $A>0$, il existe un entier naturel $N$ tel que pour tout $n\geq N$ on a $u_n>A$

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