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Dans chaque cas, déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$.
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- $u_{n}=n^2-3n+1$
Formes indéterminées
Formes indéterminées à retenir $+\infty-\infty~~~~~~0\times \infty$
$\dfrac{0}{0}~~~~\dfrac{\infty}{\infty}$Limite d'un produit
Il faut lever l'indétermination en factorisant par $n^2$ et on a $u_n=n^2\left(1-\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)$
Il faut déterminer la limite de chacun des deux facteurs obtenus
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n^2=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} -3n+1=-\infty$
donc la limite de la somme est indéterminée avec cette expression.
Pour tout entier naturel $n>0$, on a $u_n=n^2\left(1-\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} -\dfrac{3}{n}=0$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n^2}=0$
donc par somme $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 1-\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2}=1$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n^2=+\infty$
- $u_{n}=-3n^3+n^2+2$
Il faut lever l'indétermination en factorisant par $n^2$ et on a $u_n=n^2\left(1-\dfrac{3}{n}+\dfrac{1}{n^2}\right)$
Il faut déterminer la limite de chacun des deux facteurs obtenus
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} -3n^3=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n^2=+\infty$
donc la limite de la somme est indéterminée avec l'expression sous cette forme.
Pour tout entier naturel $n>0$, on a $u_n=n^3\left(-3+\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{n^3}\right)$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n}=0$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{2}{n^3}=0$
donc par somme $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} -3+\dfrac{1}{n}+\dfrac{2}{n^3}=-3$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n^3=+\infty$
- $u_{n}=3n^3+n^2+2$
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