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On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par la relation $u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$.
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- Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
On pourra multiplier le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée de $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ c'est à dire par $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$$u_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
$\phantom{u_n}=\dfrac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
$\phantom{u_n}=\dfrac{\sqrt{n+1}^2-\sqrt{n}^2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
$\phantom{u_n}=\dfrac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
$\phantom{u_n}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
- En déduire que pour tout entier naturel $n\geq 1 $, on a $0\leq u_n\leq \dfrac{1}{2\sqrt{n}}$
On a $\sqrt{n+1}> \sqrt{n}$Pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a $\sqrt{n+1}> \sqrt{n}$
donc $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}> \sqrt{n}+\sqrt{n}$ (en ajoutant $\sqrt{n}$ à chaque membre)
donc $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}> 2\sqrt{n}\geq 2 >0$
donc $0 < \dfrac{1}{ \sqrt{n+1}+\sqrt{n}} < \dfrac{1}{2\sqrt{n}}$ (l'inégalité change de sens par passage à l'inverse car la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$)
- En déduire la limite de $(u_n)$.
Limites par comparaison
$(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites telles que $u_n< v_n$ pour tout entier naturel $n>N$ avec $N \in \mathbb{N}$.
Limite par minoration: Si $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=+\infty$ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}v_n=+\infty$
Limite par majoration: Si $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}v_n=-\infty$ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=-\infty$On peut d'abord chercher la limite de $\dfrac{1}{2\sqrt{n}}$$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt{n}=+\infty$ donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 2\sqrt{n}=+\infty$
et par quotient $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{2\sqrt{n}}=0$
On a $0< u_n < \dfrac{1}{2\sqrt{n}}$
Avec l'expression $u_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$, on peut aussi déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt{n+1}=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt{n}=+\infty$
donc par somme $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt{n+1}+ \sqrt{n}=+\infty$
et par quotient $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n+1}+ \sqrt{n}}=0$
Avec l'expression de $u_n$ donnée au départ, on a $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}\sqrt{n+1}=+\infty$
et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} -\sqrt{n}=-\infty$
et la limite de la somme est donc indéterminée.
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