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  1. On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par l'algorithme ci-dessous:
    A chaque passage dans la boucle, on calcule $u+(i+1)^2$
    Dans l'algorithme ci-dessus, $i$ représente l'indice et $u$ le terme de la suite d'indice $i$.
    On a donc $u_{n+1}=u_n^2+(n+1)^2$.
    De plus, au départ on a $U=2$, ce qui correspond à $u_0$.
    Au premier passage dans la boucle, pour $i=0$, on affiche donc $i=0+1=1$ et donc $u_1=u_0+(0+1)^2$.
  2. En utilisant la calculatrice, donner les valeurs affichées par cet algorithme pour la valeur $n=10$.
    On utilise le MENU RECUR de la calculatrice en sélectionnant TYPE $a_{n+1}$.
    Ne pas oublier de paramétrer le premier terme $a_0$ dans SET
    Dans le MENU RECUR de la calculatrice, il faut sélectionner TYPE (touche F3) puis $a_{n+1}$(touche F2)
    et saisir ensuite l'expression de la suite.
    Paramétrer ensuite dans SET, le premier indice à afficher, le dernier indice et le premier terme de la suite $a_0=2$.
    \includegraphics[scale=0.6]{fig2}
    On a alors $u_1=3$, $u_2=7$, $u_3=16$, $u_4=32$ .....$u_{10}=387$
  3. Etudier les variations de la suite $(u_n)$.

    Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)


    Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
    Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
    Étudier le signe de l'expression obtenue
    Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
    Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.
    On peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$
    $u_{n+1}-u_n=u_n+(n+1)^2-u_n=(n+1)^2$
    $(n+1)^2 >0$ donc $u_{n+1} > u_n$
  4. Montrer que pour tout entier $n$, on a $u_n \geq n^2$ et en déduire la limite de la suite $(u_n)$.

    Limites par comparaison


    $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites telles que $u_n< v_n$ pour tout entier naturel $n>N$ avec $N \in \mathbb{N}$.
    Limite par minoration: Si $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=+\infty$ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}v_n=+\infty$

    Limite par majoration: Si $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}v_n=-\infty$ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}u_n=-\infty$
    On a $(u_n)$ strictement croissante et $u_0=2$ donc $u_n\geq 2$
    Développer $n+1)^2$
    $(u_n)$ strictement croissante et $u_0=2$ donc $u_n\geq 2$
    $u_{n+1}=u_n+(n+1)^2$ et $u_n\geq 2 >0$
    donc $u_{n+1} > (n+1)^2$ soit $u_n > n^2$
    $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n^2=+\infty$
  5. Modifier cet algorithme pour qu'il affiche la valeur de $n$ à partir de laquelle on a $u_n \geq 100000$.
    Avec la calculatrice, déterminer cet entier.
    On va utiliser une boucle TANT QUE puis afficher l'indice correspondant à $u_n \geq 1000000$
    Il faut utiliser une boucle TANT QUE et augmenter l'indice $n$ de 1 à chaque passage dans la boucle.

    Avec la calculatrice, on peut paramétrer dans SET le début START=50 et END=100 par exemple.
    On a alors $u_{66}=98023$ et $u_{67}=102512$.

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