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D'après BAC ES 2013 sujet métropole
Un industriel étudie l'évolution de la production des jouets sur la machine VP1OOO de son entreprise. En 2000, lorsqu'il l'a achetée, elle pouvait produire 120 000 jouets par an.
Du fait de l'usure de la machine, la production diminue de 2% par an.
On modélise le nombre total de jouets fabriqués au cours de l'année $(2000 + n)$ par une suite $\left(U_{n}\right)$. On a donc $U_{0} = 120000$.
  1. Montrer que, pour tout entier naturel $n$: $ U_{n} = 120000 \times 0,98^n$.

    Forme explicite d'une suite géométrique


    Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
    $u_n=u_0\times q^n$
    et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$
    Diminuer une valeur de 2% revient à appliquer le coefficient multiplicateur $1-\dfrac{2}{100}$
    Chaque année on applique une baisse de 2% donc on applique le coefficient multiplicateur $1-\dfrac{2}{100}=0,98$
    On a donc $U_{n+1}=0,98U_n$ donc $(U_n)$ est une suite géométrique de premier terme $U_0=120000$ et de raison $q=0,98$
    1. Quel a été le nombre de jouets fabriqués en 2005 ?
      $2005=2000+5$ donc il faut calculer $n=5$
      $2005=2000+5$ donc on prend $n=5$.
      $U_5=120000\times 0,98^5\approx 108470$
    2. Déterminer à partir de quelle année, le nombre de jouets fabriqués sera strictement inférieur à 100000.
      On peut utiliser la calculatrice pour afficher les valeurs de $0,98^n$ (MENU TABLE)
      $u_n \leq 100 000 \Longleftrightarrow 120000\times 0,98^n\leq 100000$
      $\phantom{u_n \leq 100 000} \Longleftrightarrow 0,98^n\leq \dfrac{100000}{120000}$
      $\phantom{u_n \leq 100 000} \Longleftrightarrow 0,98^n\leq \dfrac{10}{12}$
      $\phantom{u_n \leq 100 000} \Longleftrightarrow 0,98^n\leq \dfrac{5}{6}$
      Avec le MENU TABLE en saisissant Y1$=0,98^X$ on a:

      Or $\dfrac{5}{6}\approx 0,83333$ et $0,98^9\approx 0,8337$ et $0,98^{10}\approx 0,817$
      donc à partir de l'indice $n=10$, on a $U_{10} < 100 000$.
      Avec le MENU RECUR (suites) de la calculatrice, on peut aussi afficher directement les valeurs des termes de la suite.
      MENU RECUR puis sélectionner TYPE $a_n$.

      On a alors $U_9\approx 100049$ et $U_{10}\approx 98048$.

    3. Cet industriel décide qu'il changera la machine lorsqu'elle produira moins de 90 000 jouets par an.
      Recopier et compléter les lignes 8 et 9 de l'algorithme ci-dessous afin qu'il permette de déterminer le plus petit entier naturel $n$ tel que $U_{n} < 90000$.
      $n$ représente les indices et on doit augmenter l'indice de 1 à chaque passage dans la boucle
      $n$ augmente de 1 à chaque passage dans la boucle et on calcule le terme suivant de la suite.
      $A$ prend donc successivement les valeurs $U_1$, $U_2$...
    1. Exprimer $1 + 0,98 + 0,98^2 + \cdots + 0,98^n$ en fonction de $n$.

      Somme des termes d'une suite géométrique


      La somme $S$ des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q\neq 1$ est donnée par:
      $S=u_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
      Mémo: $S=$premier terme $ \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$
      On veut calcul5er la somme des termes d'une suite géométrique de raison 0,98 et premiet terme 1.
      Si $(v_n)$ est la suite géométrique de premier terme $v_0=1$ et de raison $q=0,98$
      on a alors $v_n=v_0q^n=0,98^n$
      $1 + 0,98 + 0,98^2 + \cdots + 0,98^n=v_0+v_1+v_2+ \cdots + v^n= \dfrac{1-0,98^{n+1}}{1-0,98}=\dfrac{1-0,98^{n+1}}{0,2}$
      dans la somme $v_0+v_1+v_2+ \cdots + v^n$, il y a $n+1$ termes.
    2. On pose $S_{n} = U_{0} + U_{1} + U_{2} + \cdots + U_{n}$.
      Montrer que $S_{n} = 6000000 \times \left(1 - 0,98^{n+1}\right)$.
      $S_{n} = U_{0} + U_{1} + U_{2} + \cdots + U_{n}$
      $\phantom{S_{n}}=120000+120000\times 0,98+120000\times 0,98^2+ \cdots + 120000\times 0,98^n$
      $\phantom{S_{n}}=120000(1+0,98+0,98^2+ \cdots + 0,98^n)$
      $\phantom{S_{n}}=120000\dfrac{1-0,98^{n+1}}{0,2}$
      $\phantom{S_{n}}=\dfrac{120000}{0,2}(1-0,98^{n+1})$
      $\phantom{S_{n}}=6000000(1-0,98^{n+1})$
    3. En déduire le nombre total de jouets fabriqués pendant les $15$ premières années de production.
      Il faut calculer $S_{15}$
      $S_{15}=6000000(1-0,98^{15+1})=6000000(1-0,98^{16})\approx 8289609$

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Fiche méthode


Si cet exercice vous pose problème, nous vous conseillons de consulter la fiche méthhode.

Suites arithmétiques et géométriques (rappels de première)

- justifier qu'une suite est arithmétique ou géométrique
- déterminer la raison et le premier terme
- variations
- somme des termes


infos: | 15mn |

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