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Dans une grande entreprise, le salaire mensuel d'un cadre embauché au premier janvier 2012 est de 2500 euros.
Chaque année,son salaire mensuel augmente de 4%.
Pour tout entier naturel $n$, on note $S_n$ le salaire mensuel (en euros) de ce cadre pour l'année $2012+n$
  1. Calculer le salaire mensuel de ce cadre pour l'année 2013
    Rappel: augmenter de t% revient à appliquer le coefficient multiplicateur $1+\dfrac{t}{100}$
    Augmenter le salaire mensuel de 4% revient à appliquer le coefficient multiplicateur $1+\dfrac{4}{100}=1,04$
    En 2013, le salaire mensuel sera donc de:
    $2500 \times 1,04=2600$ euros


    On peut aussi trouver ce résultat en calculant:
    $2500+\dfrac{4}{100}\times 2500=2500(1+\dfrac{4}{100}$
  2. Déterminer la nature de la suite $(S_n)$ puis exprimer $S_n$ en fonction de $n$

    Suite géométrique


    Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
    $q$ est la raison de la suite.
    Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$
    Montrer qu'il existe une réel q tel que $S_{n+1}=q S_n$
    Déterminer $S_0$ et $q$ pour exprimer $S_n$ en fonction de $n$
    Pour tout entier naturel $n$ le salaire mensuel de l'année $2012+nª$ est multiplié par $1+\dfrac{4}{100}=1,04$ pour obtenir le salaire mensuel de l'année suivante soit $S_{n+1}$
    On a donc $S_{n+1}=1,04 S_n$ donc $(S_n)$ est une suite géométrique de raison 1,04 et premier terme $S_0=2500$ (salaire de l'année 2012+0 soit 2012)
    $(S_n)$ est une suite géométrique de premier terme $S_0=2500$ et raison $q=1,04$ donc on a:
    $S_n=S_0\times q^n=2500\times 1,04^n$

  3. Calculer le salaire mensuel en 2020 arrondi à l'euro près.
    Attention 2020=2012+8....
    2020=2012+8 donc il faut calculer $S_8$
    $S_8=2500\times 1,04^8\simeq 3421$

  4. Avec la calculatrice, déterminer à partir de quelle année le salaire mensuel sera supérieur à 3000 euros
    Il faut résoudre l'inéquation $S_n\geq 3000$ soit $2500\times 1,04^n\geq 3000$
    Utiliser le Menu TABLE de la calculatrice pour calculer les valeurs de $1,034^x$
    ou bien RECUR (suites) pour calculer les termes de la suite $(S_n)$ (voir fiche méthode calculatrice et suites)
    On veut $S_n\geq 3000$
    $S_n\geq 3000$
    $\Longleftrightarrow 2500\times 1,04^n\geq 3000$
    $\Longleftrightarrow 1,04^n\geq \dfrac{3000}{2500}$
    $\Longleftrightarrow 1,04^n\geq \dfrac{6}{5}$
    Avec le menu TABLE de la calculatrice, il faut saisir la fonction Y1=$1,04^x$ et paramétrer le tableau de valeurs avec X-START:0, X-END:50 par exemple et PITCH:1, on obtient:
    On a donc $1,04^4\geq 1,7$ et $1,04^5 \simeq 1,22$
    Avec le MENU RECUR (CASIO) de la calculatrice, en choisissant TYPE $a_n$ et en saisissant la forme explicite de $S_n$ soit $2500\times 1,04$ puis en paramétrant dans SET (ou bien RANG) les valeurs de $n$ allant de 0 à 50 par exemple, on obtient $S_4\simeq 2924$ et $S_5 \simeq 3042$
    Le salaire mensuel sera donc supérieur à 3000 euros à partir de $n=5$ soit à partir de l'année $2012+5=2017$

  5. Calculer la somme perçue par ce cadre entre le premier janvier 2012 et le premier janvier 20020 arrondie à l'euro près.

    Somme des termes d'une suite géométrique


    La somme $S$ des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q\neq 1$ est donnée par:
    $S=u_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
    Mémo: $S=$premier terme $ \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$
    Il faut calculer la somme des salaires entre le 01/01/2012 et le 31/12/2019 soit $S_0+S_1+....+S_7 car $2019=2012+7$
    , on veut finalement faire la somme des salaires annuels....
    Il faut calculer la somme des salaires entre le 01/01/2012 et le 31/12/2019 puisque l'année 2020 n'est pas comptée
    Or 2019=2012+7
    La somme des salaires mensuels est alors $S_0+S_1+....+S_7$ soit la somme de 8 termes consécutifs de la suite
    $(S_n)$ est une suite géométrique de premier terme $S_0=2500$ et de raison $q=1,04$
    $S_0+S_1+S_2+....+S_7=2500 \times \dfrac{1-1,04^8}{1-1,04}$
    Chaque année, il perçoit douze mois de salaire donc il a gagné au total:
    $S=12\times 2500\times \dfrac{1-1,04^8}{1-1,04} \simeq 276 427$

    Eviter d'utiliser la valeur arrondie de $S_0+S_1+...S_7$ puis de la multiplier par 12 car l'erreur commise avec la valeur arrondie de la somme $S_0+S_1+...S_7$ est elle aussi multipliée par 12.
    On a alors:$S_0+S_1+....+S_7\simeq 23 036$
    et $12\times 23 036 =276432 $fat

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