Aide en ligne avec WhatsApp*, un professeur est à vos côtés à tout moment! Essayez!
Un cours particulier à la demande!
Envoyez un message WhatsApp au 07 67 45 85 81 en précisant votre nom d'utilisateur.*période d'essai ou abonnés premium(aide illimitée, accès aux PDF et suppression de la pub)
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=u_n(2-u_n)$ et $u_0=\dfrac{1}{2}$.
Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)
- Montrer que pour tout réel $x\in ]0;1[$, on a $0 < x(2-x) < 1$.
Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
Pour comprar deux nombres, il faut étudier le signe de leur différence, soit ici $x(2-x)-2$$x(2-x)-1=2x-x^2-1=-x^2+2x-1$
$\Delta=b^2-4ac=4-4\times (-1)\times (-1)=4-4=0$
$-x^2+2x-2$ admet une racine $x_1=\dfrac{-b}{2a}=1$ et est donc toujours du signe de $a=-1$ (coefficient de $x^2$)
donc sur $]0;1[$ on a $-x^2+2x-1 < 0$ soit $x(2-x) < 1$
On a $x > 0$ et $x < 1$ donc $2-x > 0$ soit $x(2-x)> 0$
On peut aussi dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $]0;1[$
définie par $f(x)=x(2-x)=-x^2+2x$
On a alors $f'(x)=-2x+2=2(1-x)$ et $f'(x)> 0$ sur $]0;1[$
soit $f$ croissante sur $]0;1[$ avec $f(0)=0$ et $f(1)=1$ - En déduire que $0< u_n < 1$ pour tout entier naturel $n$.
Raisonnement par récurrence
On note $P_n$ une propriété définie pour tout entier naturel $n$.
Initialisation:
$P_0$ est vraie
Hérédité:
Si $P_n$ est vraie alors$P_{n+1}$ est vraie.
on a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.On note $P_n$ (avec $n\in \mathbb{N}$) la propriété $0< u_n < 1$
- Initialisation $n=0$
On a $ 0< u_0 < 1$ (propriété $P_0$)
- Hérédité
On suppose $P_n$ vraie pour un entier naturel $n$.
$ 0< u_n < 1$
D'après la question 1 on a alors $0 < u_n(2-u_n) < 1$
soit $0< u_{n+1} < 1$
donc $P_{n+1}$ est vraie.
- En déduire les variations de la suite $(u_n)$.
- Montrer que $(u_n)$ est convergente et préciser sa limite.
Limite d'une suite majorée ou minorée
Si la suite $(u_n)$ est croissante et majorée alors elle est convergente.
Si la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée alors elle est convergenteOn a la suite $(u_n)$ strictement croissante et majorée par 1
Si on note $\alpha$ la limite de $(u_n)$ on a $\alpha$ solution de l'équation $\alpha (2-\alpha)=\alpha$
$\alpha (2-\alpha)=\alpha \Longleftrightarrow \alpha -\alpha^2=0$
$\phantom{\alpha (2-\alpha)=\alpha} \Longleftrightarrow \alpha(1 -\alpha)=0$
$\phantom{\alpha (2-\alpha)=\alpha} \Longleftrightarrow \alpha=0$ ou $\alpha =1$
or $\alpha > u_0$ avec $u_0=\dfrac{1}{2}$
Attention les fonctions ci-dessus sont désactivées en mode "visiteur", créez un compte MATHS-LYCEE.FR (gratuit)
exercices semblables
Si vous souhaitez vous entraîner un peu plus, nous vous conseillons ces exercices.