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On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=u_n(2-u_n)$ et $u_0=\dfrac{1}{2}$.
  1. Montrer que pour tout réel $x\in ]0;1[$, on a $0 < x(2-x) < 1$.

    Signe de $ax^2+bx+c$


    - Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$

    - Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)

    - Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
    Pour comprar deux nombres, il faut étudier le signe de leur différence, soit ici $x(2-x)-2$
    $x(2-x)-1=2x-x^2-1=-x^2+2x-1$
    $\Delta=b^2-4ac=4-4\times (-1)\times (-1)=4-4=0$
    $-x^2+2x-2$ admet une racine $x_1=\dfrac{-b}{2a}=1$ et est donc toujours du signe de $a=-1$ (coefficient de $x^2$)
    donc sur $]0;1[$ on a $-x^2+2x-1 < 0$ soit $x(2-x) < 1$
    On a $x > 0$ et $x < 1$ donc $2-x > 0$ soit $x(2-x)> 0$


    On peut aussi dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur $]0;1[$
    définie par $f(x)=x(2-x)=-x^2+2x$
    On a alors $f'(x)=-2x+2=2(1-x)$ et $f'(x)> 0$ sur $]0;1[$
    soit $f$ croissante sur $]0;1[$ avec $f(0)=0$ et $f(1)=1$
  2. En déduire que $0< u_n < 1$ pour tout entier naturel $n$.

    Raisonnement par récurrence


    On note $P_n$ une propriété définie pour tout entier naturel $n$.
    Initialisation:
    $P_0$ est vraie
    Hérédité:
    Si $P_n$ est vraie alors$P_{n+1}$ est vraie.
    on a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.
    On note $P_n$ (avec $n\in \mathbb{N}$) la propriété $0< u_n < 1$
    - Initialisation $n=0$
    On a $ 0< u_0 < 1$ (propriété $P_0$)

    - Hérédité
    On suppose $P_n$ vraie pour un entier naturel $n$.
    $ 0< u_n < 1$
    D'après la question 1 on a alors $0 < u_n(2-u_n) < 1$
    soit $0< u_{n+1} < 1$
    donc $P_{n+1}$ est vraie.
  3. En déduire les variations de la suite $(u_n)$.
    On peut étudier le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ car $u_n >0$
    $u_n>0$ pour tout entier naturel $n$.
    $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{u_n (2-u_n)}{u_n}=2-u_n$
    On a $0 < u_n < 1$
    donc $2-u_n < 1$
    soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} > 1$
  4. Montrer que $(u_n)$ est convergente et préciser sa limite.

    Limite d'une suite majorée ou minorée


    Si la suite $(u_n)$ est croissante et majorée alors elle est convergente.
    Si la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée alors elle est convergente
    On a la suite $(u_n)$ strictement croissante et majorée par 1

    Si on note $\alpha$ la limite de $(u_n)$ on a $\alpha$ solution de l'équation $\alpha (2-\alpha)=\alpha$
    $\alpha (2-\alpha)=\alpha \Longleftrightarrow \alpha -\alpha^2=0$
    $\phantom{\alpha (2-\alpha)=\alpha} \Longleftrightarrow \alpha(1 -\alpha)=0$
    $\phantom{\alpha (2-\alpha)=\alpha} \Longleftrightarrow \alpha=0$ ou $\alpha =1$
    or $\alpha > u_0$ avec $u_0=\dfrac{1}{2}$

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