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Une entreprise du secteur "Bâtiments et Travaux Publics" doit réduire la quantité de déchets qu'elle rejette pour respecter une nouvelle norme environnementale. Elle s'engage, à terme, à rejeter moins de 30 000 tonnes de déchets par an.
En 2012, l'entreprise rejetait 40 000 tonnes de déchets.
Depuis cette date, l'entreprise réduit chaque année la quantité de déchets qu'elle rejette diminue de 5% par rapport à la quantité rejetée l'année précédente, mais elle produit par ailleurs 200 tonnes de nouveaux déchets par an en raison du développement de nouvelles activités.
Pour tout entier naturel $n$, on note $r_n$ la quantité, en tonnes, de déchets pour l'année $(2012+n)$. On a donc $r_0=40~000$.
    1. Calculer $r_1$ et $r_2$.
      $r_1$ est la quantité de déchets en $2012+1=2013$
      Diminuer une quantité de 5% revient à appliquer le coefficient multiplicateur $1-\dfrac{5}{100}=0,95$
      $r_1=r_0\times 0,95 +200=0,95\times 40~000+200=38~200$
      $r_2$ est la quantité de déchets en $20012+2=2014$
      $r_2=0,95r_1+200=0,95\times 38~200+200=36~490$
    2. Justifier que pour tout entier $n$ naturel on a $r_{n+1}=0,95r_n+200$.
      $r_n$ est la quantité de déchets de l'année $2012+n$ et $r_{n+1}$ est la quantité de déchets de l'année suivante
      $r_n$ diminue de 5% et on ajoute 200 tonnes de plus ensuite
      $r_n$ est la quantité de déchets de l'année $2012+n$ et $r_{n+1}$ est la quantité de déchets de l'année suivante
      $r_n$ diminue de 5% donc on a alors $0,95r_n$ tonnes de déchets auquel on ajoute 200 tonnes de déchets
  1. Soit $(s_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $s_n = r_n-4000$.
    1. Démontrer que la suite $(s_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

      Suite géométrique


      Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
      $q$ est la raison de la suite.
      Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$
      Il faut déterminer $q$ tel que $s_{n+1}=qs_n$
      $s_{n+1}=r_{n+1}-4000=0,95r_n+200-4000$....
      Pour tout entier naturel $n$, on a:
      $s_{n+1}=r_{n+1}-4000$
      $\phantom{s_{n+1}}=0,95r_n+200-4000$ (on a $r_{n+1}=0,95r_n+200$)
      $\phantom{s_{n+1}}=0,95r_n-3800$
      $\phantom{s_{n+1}}=0,95(r_n-4000)$ (on factorise par le coefficient de $r_n$)
      $\phantom{s_{n+1}}=0,95s_n$
      donc $(s_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,95$
      et de premier terme $s_0=r_0-4000=40~000-4~000=36~000$
    2. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $s_n$ en fonction de $n$. En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $r_n=36~000\times 0,95^n+4~000$.

      Forme explicite d'une suite géométrique


      Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
      $u_n=u_0\times q^n$
      et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$
      $s_{n}=r_{n}-4000$ donc $r_n=s_n+4~000$
      $(s_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,95$ et de premier terme $s_0=36~000$
      Pour tout entier naturel $n$, on a:
      $s_n=s_0q^n=36~000 \times 0,95^n$
      On a $s_{n}=r_{n}-4000$ donc $r_n=s_n+4~000$
    3. La quantité de déchets rejetée diminue-t-elle d'une année sur l'autre~? Justifier.

      Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)


      Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
      Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
      Étudier le signe de l'expression obtenue
      Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
      Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.
      Il faut étudier le sens de variation de la suite $(r_n)$.
      On peut aussi étudier le signe de la différence $r_{n+1}-r_n$ en factorisant l'expression
      $r_n=36~000 \times 0,95^n+4000$ et $r_{n+1}=0,95r_n+200$
      $r_{n+1}-r_n=0,95r_n+200-r_n$
      $\phantom{r_{n+1}-r_n}=-0,05r_n+200$
      $\phantom{r_{n+1}-r_n}=-0,05(36~000 \times 0,95^{n}+4000)+200$
      $\phantom{r_{n+1}-r_n}=-0,05\times 36~000 \times 0,95^n-0,05\times 4000+200$
      $\phantom{r_{n+1}-r_n}=-0,05\times 36~000 \times 0,95^n-200+200$
      $\phantom{r_{n+1}-r_n}=-1800 \times 0,95^n$
      donc $r_{n+1}-r_n<0$
    4. Déterminer la limite de la suite $(r_n)$ quand $n$ tend vers l'infini.

      Limite de $q^n$ (suite géométrique)


      Si $q > 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty$
      Si $-1 < q < 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=0$
      Chercher la limite de la suite $(s_n)$ géométrique de raison $q=0,95$
      Pour tout entier naturel $n$, on a $r_n=s_n+4000$
      En déduire la limite de la suite $(r_n)$
      $(s_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,95$
      On a donc $0< q<1$
      donc $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} s_n=0$
      Pour tout entier naturel $n$, on a $r_n=s_n+4000$
      donc par somme $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} u_n=4000$
    5. Calculer une estimation, en tonnes et à une tonne près, de la quantité de rejets en 2020.
      $2020=2012+8$ donc il faut prendre $n=8$
      $r_n=36~000 \times 0,95^n+4~000$
      et $2020=2012+8$ donc il faut prendre $n=8$.
      $r_8=36~000 \times 0,95^8+4~000\approx 27883$
  2. Dans cette question, tout trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
    À partir de quelle année, le contexte restant le même, l'entreprise réussira-t-elle à respecter son engagement~?
    Il faut résoudre $r_n<30~000$
    On peut saisir la suite dans le menu RECUR (suites) de la calculatrice pour calculer les termes de la suite $(r_n)$
    Par le calcul, on peut résoudre cette inéquation en utilisant les logarithmes.
    Avec la calculatrice, on peut utiliser la relation de récurrence $r_{n+1}=0,95r_n+200$ et $r_0=40~000$ dans le menu RECUR de la calculatrice:


    On a donc $r_6\approx 30463$ et $r_7\approx 29140$
    De plus la suite $(r_n)$ est strictement décroissante donc pour tout entier naturel $n\geq 7$, on a:
    $u_n\leq u_{7}<30000$


    On peut aussi utiliser le MENU TABLE et la fonction Y1$=0,95^X$ avec XSTART=0, XEND=100 (par exemple) et PITCH=1 pour déterminer les valeurs de $n$ pour lesquelles on a $0,95^n < \dfrac{13}{18}$

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