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L'essentiel pour réussir la première en spécialité maths

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Un bibliothèque dispose de 12000 livres à la fin de l'année 2012.
chaque année. on a constaté que 10% des livres empruntés par les adhérents sont égarés et la bibliothèque achète dans le même temps 1000 nouveaux livres.
Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de livres à la fin de l'année $2012+n$.
  1. Recherche de la relation de récurrence caractérisant $(u_n)$
    1. Déterminer $u_0$ puis calculer $u_1$
      Rappel: diminuer une valeur de 10 revient à appliquer le coefficient multiplicateur $1-\dfrac{10}{100}$
      Attention, il ya de plus 1000 nouveaux livres achetés chaque année.
      $u_n$ est le nombre de livres à la fin de l'année $2012+n$
      donc l'année 2012 correspond à l'indice 0
      $u_0=12000$
      $u_1=u_0-\dfrac{10}{100}u_0+1000=12000-1200+1000=11800$
    2. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,9u_n+1000$
      Rappel: diminuer une valeur de 10% revient à appliquer le coefficient multiplicateur $1-\dfrac{10}{100}$
      On note $u_n$ le nombre de livres de l'année $2012+n$ et $u_{n+1}$ le nombre de livres de l'année suivante (année $2012+n+1$)
      Diminuer une valeur de 10% revient à appliquer le coefficient multiplicateur $1-\dfrac{10}{100}=0,9$
      donc l'année suivante, il reste $0,9u_n$ ouvrages
      On ajoute ensuite 1000 livres supplémentaires pour obtenir le nombre de livres l'année suivante



      On peut aussi effectuer le calcul:
      $u_{n+1}=u_n-\dfrac{10}{100}u_n+1000$
      $\phantom{u_{n+1}}=u_n-0,1u_n+1000$
      $\phantom{u_{n+1}}=0,9u_n+1000$
    3. Avec la calculatrice, donner le nombre de livres à la fin de l'année 2017.
      On utilise le menu RECUR de la calculatrice en sélectionnant le type $a_{n+1}$ et en saisissant la relation $a_{n+1}=0,9a_n+1000$
      Ne pas oublier de paramétrer dans SET (ou RANGE) les indices (de 1 à 10 par exemple) et le premier terme $a_1=12000$
      On utilise le menu RECUR de la calculatrice en sélectionnant le type $a_{n+1}$ et en saisissant la relation $a_{n+1}=0,9a_n+1000$
      Il faut ensuite paramétrer dans SET (ou RANGE) les indices (de 1 à 10 par exemple) et le premier terme $a_1=12000$

      $2017=2012+5$ donc on veut calculer $u_5$.
      On a ici $u_5\approx 11312$
  2. Recherche de la forme explicite de $u_n$
    1. On pose $v_n=u_n-10~000$
      Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

      Suite géométrique


      Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
      $q$ est la raison de la suite.
      Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$
      Il faut exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $u_{n+1}$ puis en fonction de $u_n$ pour trouver une relation de la forme $v_{n+1}=qv_n$
      $v_{n+1}=u_{n+1}-10~000$
      $\phantom{v_{n+1}}=(0,9u_n+1000)-10~000$ (car $u_{n+1}=0,9u_n+1000$)
      $\phantom{v_{n+1}}=0,9u_n-9000$
      $\phantom{v_{n+1}}=0,9(u_n-10~000)$ (on factorise par le coefficient de $u_n$, ici 0,9 et $0,9\times 10~000=9000$)
      $\phantom{v_{n+1}}=0,9v_n$
      Le premier terme de la suite $(u_n)$ est celui d'indice 1 avec $u_1=12~000$
      On a $v_1=u_1-10~000=12~000-10~000=2000$
    2. En déduire l'expression de $v_n$ puis de $u_n$ en fonction de $n$

      Forme explicite d'une suite géométrique


      Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
      $u_n=u_0\times q^n$
      et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$
      Exprimer $v_n$ en fonction de $n$
      puis $u_n$ en fonction de $n$ (rappel: $v_n=u_n-10~000$)
      $(v_n)$ est une suite géométrique de premier terme $v_1=2000$ et de raison $q=0,9$
      donc $v_n=v_1\times q^{n-1}=2000\times 0,9^{n-1}$
      Le premier terme de la suite $(v_n)$ est celui d'indice 1 soit $v_1$
      On a $v_n=u_n-10~000 \Longleftrightarrow u_n=v_n+10~000$
      donc $u_n=v_n+10~000=2000\times 0,9^{n-1}+10~000$
    3. Retrouver le résultat de la question 1.c (nombre de livres à la fin de 2017) avec l'expression obtenue à la question précédente.
      $2012+5=2017$ donc on a ici $n=5$
      $u_{5}=2000\times 0,9^{5-1}+10~000=2000\times 0,9^4+10~000 \approx 11312$
  3. Evolution du nombre de livres au cours des années et à long terme
    1. Etudier les variations de la suite $(u_n)$

      Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)


      Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
      Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
      Étudier le signe de l'expression obtenue
      Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
      Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.
      On peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ pour déterminer les variations de la suite $(u_n)$
      $u_n=2000\times 0,9^{n-1}+10~000$ donc $u_{n+1}=0,9u_n+1000$
      $u_{n+1}-u_n=0,9u_n+1000-u_n$
      $\phantom{u_{n+1}-u_n}=-0,1u_n+1000$
      $\phantom{u_{n+1}-u_n}=-0,1\times (2000\times 0,9^{n-1}+10~000)+1000$
      $\phantom{u_{n+1}-u_n}=-200\times 0,9^{n-1}-0,1\times 10000+1000$
      $\phantom{u_{n+1}-u_n}=-200\times 0,9^{n-1}-1000+1000$
      $\phantom{u_{n+1}-u_n}=-200\times 0,9^{n-1}$
      or $0,9^{n-1}>0$ donc $u_{n+1}-u_n<0$
    2. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ et interpréter le résultat.

      Limite de $q^n$ (suite géométrique)


      Si $q > 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty$
      Si $-1 < q < 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=0$
      Chercher la limite de la suite $(v_n)$ qui est géométrique
      et on a $u_n=v_n+10~000$
      $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,9$
      On a $q\in]0;1[$ donc $\displaystyle \lim_{ n \rightarrow +\infty }v_n=0$
      Pour tout entier naturel $n\geq 1$, on a $u_n=v_n+10~000$

      On peut en déduire qu'après un grand nombre d'années, le nombre de livres sera proche de 10 000.

      Le nombre de livres diminue chaque année et après de nombreuses années, le nombre de livres sera proche de 10 000 en diminuant très peu chaque année.

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