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On pose $f(x)=\dfrac{e^x}{x^{n+1}}$ définie sur $]0;+\infty[$ avec $n \in \mathbb{N}^*$
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- Montrer que $f'(x)=\dfrac{e^x\left(1-\dfrac{n+1}{x}\right)}{ x^{n+1} }$
Formules de dérivation (produit, quotient...)
Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$On pose $u(x)=e^x$ et $v(x)=x^{n+1}$On pose $u(x)=e^x$ et $v(x)=x^{n+1}$
donc $u'(x)=e^x$ et $v'(x)=(n+1)x^{n}$
$f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{e^x\times x^{n+1}-e^x\times (n+1)x^{n}}{( x^{n+1} )^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{e^x(x^{n+1}- (n+1)x^{n})}{( x^{n+1} )^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{e^x\times x^{n+1}\left(1-\dfrac{n+1}{x}\right)}{( x^{n+1} )^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{e^x\left(1-\dfrac{n+1}{x}\right)}{ x^{n+1} }$
- En déduire que $f$ est croissante sur $[n+1;+\infty[$.
Il faut étudier le signe de $1-\dfrac{n+1}{x}$$e^x>0$ et $x^{n+1}>0$ sur $]0;+\infty[$ donc $f'(x)$ est du signe de $1-\dfrac{n+1}{x}$
$1-\dfrac{n+1}{x}>0 \Longleftrightarrow 1>\dfrac{n+1}{x}$
$\phantom{1-\dfrac{n+1}{x}>0} \Longleftrightarrow x>n+1$
donc $f'(x)\geq 0$ sur $[n+1;+\infty[$
- En déduire que $\dfrac{e^x}{x^{n+1}}\geq \dfrac{e^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}$ sur $[n+1;+\infty[$
- En déduire que $f(x)>\dfrac{xe^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}$ puis $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{e^x}{x^n}$.
On peut multiplier les deux membres par $x$ dans le résultat de la question précédente$\dfrac{e^x}{x^{n+1}}\geq \dfrac{e^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}$
donc $\dfrac{xe^x}{x^{n+1}}\geq \dfrac{xe^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}$ (on a $x>0$ donc l'inégalité ne change pas de sens en multipliant par $x$)
donc $\dfrac{e^x}{x^n} \geq x\dfrac{e^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}$
soit $\dfrac{e^x}{x^n}\geq Cx$ avec $C=\dfrac{e^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} Cx=+\infty$ car $C>0$
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